In welchem Viereck schneiden sich die Diagonalen außerhalb des Vierecks?

Man erhält in Abbildung 5 die Innenwinkelsumme des Vierecks ABCD als Summe der Innenwinkel des Dreiecks ABC von 180° und dem Vollwinkel um D, definitionsgemäß 360°, abzüglich der Innenwinkel des Dreiecks ADC von 180°:

Inhaltsverzeichnis Show

In welchen Vierecken halbiert jede der zwei Diagonalen die andere?
In welchen Vierecken schneiden sich die Diagonalen immer im rechten Winkel?
In welchen Vierecken stehen die Diagonalen normal aufeinander?

Ein Viereck ist eine Figur der ebenen Geometrie mit vier Eckpunkten, vier Seiten und zwei Diagonalen. Ein konvexes Viereck erfordert 5 Bestimmungsstücke, darunter muss mindestens eine Seite sein. 5 Bestimmungsstücke führen bei konkaven zu mehrdeutigen Lösungen

Die Beschriftung der vier Eckpunkte erfolgt mit Großbuchstaben A, B, C, D, beginnend mit der linken unteren Ecke und erfolgt gegen den Uhrzeigersinn
Die Beschriftung der vier Seiten erfolgt mit Kleinbuchstaben, wobei: $a = \overline {AB} ;\,\,\,\,\,b = \overline {BC} ;\,\,\,\,\,c = \overline {CD} ;\,\,\,\,\,d = \overline {DA} ;$
Die Beschriftung der vier Innenwinkel erfolgt mit griechischen Kleinbuchstaben, wobei den Scheitelpunkten A, B, C, D die Winkel $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta $ sprich Alpha, Beta, Gamma, Delta zugeordnet sind
Die Summe der Innenwinkel eines Vierecks beträgt 360°. Jedes Viereck lässt sich in zwei Dreiecke zerlegen. Vier Innenwinkel zählen nur als drei Bestimmungsstücke, da sich der 4. Winke ergibt.
Die Beschriftung der beiden Diagonalen erfolgt mit Kleinbuchstaben $e = {d_1} = \overline {AC} ;\,\,\,\,\,f = {d_2} = \overline {BD} ;$
Das Viereck heißt konvex, wenn beide Diagonalen innerhalb des Vierecks liegen. Liegt eine Diagonale außerhalb des Vierecks, so hat das Viereck eine konkave Ecke
Spezielle Vierecke sind das Quadrat, das Rechteck, die Raute, das Deltoid, das Parallelogramm und das Trapez
Es gibt Vierecke mit (Sehnenvierecke) und solche ohne Umkreis bzw. mit (Tangentenvierecke) und solche ohne Inkreis

Umfang vom allgemeinen Viereck

Der Umfang vom allgemeinen Viereck entspricht der Summe der vier Seiten

$U = a + b + c + d$

Winkelsumme im allgemeinen Viereck

Die Summe der Innenwinkel eines allgemeinen Vierecks beträgt 360°

$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ $

Flächeninhalt vom allgemeinen Viereck

Die Fläche eines allgemeinen Vierecks kann man mit Hilfe der Formel von Bretschneider aus seinen vier Seiten und seinen beiden Diagonalen berechnen

$A = \dfrac{1}{4} \cdot \sqrt {4 \cdot {e^2} \cdot {f^2} - {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}} $

Länge der Diagonalen im allgemeinen Viereck

Die Länge der Diagonalen im allgemeinen Viereck kann man mit Hilfe vom Kosinussatz aus zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenem Winkel berechnen

$\eqalign{ & e = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} = \sqrt {{c^2} + {d^2} - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos \left( \delta \right)} \cr & f = \sqrt {{a^2} + {d^2} - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos \left( \alpha \right)} = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \left( \gamma \right)} \cr} $

Illustration eines allgemeinen Vierecks

Winkel αWinkel α: Winkel zwischen E, A, FWinkel αWinkel α: Winkel zwischen E, A, FWinkel βWinkel β: Winkel zwischen G, B, EWinkel βWinkel β: Winkel zwischen G, B, EWinkel βWinkel β: Winkel zwischen G, B, EWinkel γWinkel γ: Winkel zwischen H, C, GWinkel γWinkel γ: Winkel zwischen H, C, GWinkel δWinkel δ: Winkel zwischen F, D, HWinkel δWinkel δ: Winkel zwischen F, D, HStrecke fStrecke f: Strecke A, BStrecke gStrecke g: Strecke B, CStrecke hStrecke h: Strecke D, AStrecke iStrecke i: Strecke D, CStrecke jStrecke j: Strecke A, CStrecke kStrecke k: Strecke B, Df=d_2text1 = “f=d_2”f=d_2text1 = “f=d_2”e=d_1text2 = “e=d_1”e=d_1text2 = “e=d_1”AText1 = “A”BText2 = “B”CText3 = “C”DText4 = “D”aText5 = “a”bText6 = “b”cText7 = “c”dText8 = “d”$\alpha $Text9 = “$\alpha $”$\beta $Text10 = “$\beta $”$\gamma $Text11 = “$\gamma $”$\delta $Text12 = “$\delta $”

Allgemeines Viereck

Umfang allgemeines Viereck

Innenwinkel allgemeines Viereck

Fläche allgemeines Viereck

Diagonale allgemeines Viereck

Fragen oder Feedback

Wissenspfad

Aufgaben

Quadrat

Das Quadrat ist ein Rechteck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind.

Alle 4 Seiten a sind gleich lang, das Quadrat ist daher gleichseitig
Alle 4 Innenwinkel sind rechte Winkel, das Quadrat ist daher ein Rechteck
Die beiden Diagonalen sind gleich lang, rechtwinkelig zu einander und halbieren einander
Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen M, ist sowohl Inkreis-, Umkreismittelpunkt als auch Schwerpunkt

Umfang vom Quadrat

Der Umfang vom Quadrat entspricht der vierfachen Seitenlänge

$U = a + a + a + a = 4a$

Winkelsumme im Quadrat

Jeder einzelne Winkel hat 90°. Die Summe der vier Innenwinkel eines Quadrats beträgt 360°.

$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 4 \cdot 90^\circ = 360^\circ $

Flächeninhalt vom Quadrat

Die Fläche vom Quadrat entspricht dem Quadrat der Seitenlänge

$A = a \cdot a = {a^2}$

Länge der Diagonalen im Quadrat

Die Länge jeder der beiden Diagonalen im Quadrat entspricht dem Wurzel-Zweifachem einer Seitenlänge

$d = e = f = a \cdot \sqrt 2$

Inkreis im Quadrat

Der Radius vom Inkreis im Quadrat entspricht der halben Seitenlänge. Der Inkreismittelpunkt ist zugleich der Schnittpunkt der beiden Diagonalen

${r_i} = \dfrac{a}{2}$

Umkreis vom Quadrat

Der Radius vom Umkreis vom Quadrat entspricht der halben Diagonale. Der Umkreismittelpunkt ist zugleich der Schnittpunkt der beiden Diagonalen

${r_u} = \dfrac{d}{2} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}$

Illustration vom Quadrat

Vieleck poly1Vieleck poly1: Vieleck(A, B, 4)Vieleck poly1Vieleck poly1: Vieleck(A, B, 4)Kreis cKreis c: Kreis durch J mit Mittelpunkt IKreis dKreis d: Kreis durch K mit Mittelpunkt IWinkel αWinkel α: Winkel zwischen O, P, LWinkel αWinkel α: Winkel zwischen O, P, LWinkel βWinkel β: Winkel zwischen M, Q, OWinkel βWinkel β: Winkel zwischen M, Q, OWinkel γWinkel γ: Winkel zwischen N, R, MWinkel γWinkel γ: Winkel zwischen N, R, MWinkel δWinkel δ: Winkel zwischen L, S, NWinkel δWinkel δ: Winkel zwischen L, S, NStrecke fStrecke f: Strecke A, BStrecke gStrecke g: Strecke B, CStrecke hStrecke h: Strecke C, DStrecke iStrecke i: Strecke D, AStrecke jStrecke j: Strecke E, FStrecke kStrecke k: Strecke G, HPunkt IPunkt I: Schnittpunkt von j, kPunkt IPunkt I: Schnittpunkt von j, kAtext1 = “A”Btext2 = “B”Ctext3 = “C”Dtext4 = “D”Mtext5 = “M”aText1 = “a”aText2 = “a”aText3 = “a”aText4 = “a”dText5 = “d”dText5_{1} = “d”dText5_{2} = “d”$$\alpha $$Text6 = “$$\alpha $$”$$\beta $$Text7 = “$$\beta $$”$$\gamma $$Text8 = “$$\gamma $$”$$\delta $$Text9 = “$$\delta $$”

Quadrat

Inkreis Quadrat

Umkreis Quadrat

Umfang Quadrat

Fläche Quadrat

Diagonale Quadrat

Winkelsumme Quadrat

Fragen oder Feedback

Wissenspfad

Aufgaben

Rechteck

Ein Rechteck ist ein Viereck bei dem alle Innenwinkel rechte Winkel sind. Es ist ein Viereck mit gleich langen Diagonalen, die einander halbieren

Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel
Sind sogar alle vier Seiten gleich lang, dann handelt es sich um ein Quadrat
Alle 4 Innenwinkel sind rechte Winkel
Die beiden Diagonalen sind gleich lang und halbieren einander
Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen M, ist der Umkreismittelpunkt und der Schwerpunkt

Umfang vom Rechteck

Der Umfang vom Rechteck entspricht der doppelten Summe der beiden Seitenlängen

$U = a + b + a + b = 2 \cdot \left( {a + b} \right)$

Winkelsumme im Rechteck

Jeder einzelne Winkel hat 90°. Die Summe der Innenwinkel eines Quadrats beträgt 360°.

$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 4 \cdot 90^\circ = 360^\circ $

Flächeninhalt vom Rechteck

Die Fläche vom Rechteck entspricht dem Produkt der beiden Seitenlängen

$A = a \cdot b$

Länge der Diagonalen im Rechteck

Die Länge jeder der beiden Diagonalen im Rechteck entsrpicht der Wuzel aus der Summe der beiden quadrierten Seitenlängen

$d = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $

Umkreis vom Rechteck

Der Radius vom Umkreis eines Rechtecks entspricht der halben Diagonale. Der Mittelpunkt vom Umkreis liegt am Schnittpunkt der beiden Diagonalen und ist gleichzeitig der Schwerpunkt des Dreiecks.

${r_U} = \dfrac{d}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt {{a^2} + {b^2}} $

Illustration vom Rechteck

Viereck poly1Viereck poly1: Polygon A, B, C, DBogen eBogen e: Kreisbogen(F, H, G)Strecke aStrecke a: Strecke A, BStrecke bStrecke b: Strecke B, CStrecke cStrecke c: Strecke C, DStrecke dStrecke d: Strecke D, AStrecke fStrecke f: Strecke D, EStrecke gStrecke g: Strecke J, KStrecke hStrecke h: Strecke L, MStrecke kStrecke k: Strecke N, OPunkt II = (4.22, 6.24)Punkt II = (4.22, 6.24)Punkt NPunkt N: Schnittpunkt von i, dPunkt NPunkt N: Schnittpunkt von i, dPunkt OPunkt O: Schnittpunkt von j, bPunkt OPunkt O: Schnittpunkt von j, bhtext1 = “h”AText1 = “A”BText2 = “B”CText3 = “C”DText4 = “D”aText5 = “a”bText6 = “b”cText7 = “c”dText8 = “d”eText9 = “e”fText10 = “f”mText11 = “m”

In welchen Vierecken halbiert jede der zwei Diagonalen die andere?

Ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten parallel sind, heißt Parallelogramm. Die gegenüberliegenden Seiten sind demzufolge gleich lang. Die Diagonalen in einem Parallelogramm halbieren einander. Die gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß.

In welchen Vierecken schneiden sich die Diagonalen immer im rechten Winkel?

Die Diagonalen in einem Drachenviereck schneiden sich also in einem rechten Winkel. Dies gilt übrigens auch für jedes Quadrat und für jede Raute.

In welchen Vierecken stehen die Diagonalen normal aufeinander?

Das Deltoid (Drachenviereck) Ein Deltoid ist ein Viereck, bei dem zwei Paar Nachbarseiten gleich lang sind. Die Diagonalen stehen normal aufeinander, die Diagonale e halbiert die Diagonale f.