Wie berechne ich Punkte einer Parabel?

Auf dieser Seite wird beschrieben, wie man eine Parabel findet, die durch drei gegebene Punkte geht. Am nebenstehenden Applet ist zu sehen, da� durch drei Punkte mit verschiedenen x-Werten offensichtlich stets eine Parabel gezeichnet werden kann (sofern die drei Punkte nicht auf einer gemeinsamen Gerade liegen).

→Unten befindet sich ein Rechner, der die Funktionsgleichung zu drei vorgebbaren Punkten findet.

Gesucht ist eine quadratische Funktion der Form f(x) = ax� + bx + c. Da f(x)=y ist, m�ssen die Koordinatenpaare jedes gegebenen Punktes (x|y) die Funktionsgleichung erf�llen, d.h. (x|y) = (x|f(x)). Wenn man die Koordinaten der drei Punkte nacheinander in die Funktionsgleichung einsetzt, erh�lt man drei (lineare!) Gleichungen mit jeweils drei Unbekannten (a, b und c), mithin ein lineares Gleichungssystem, das nach den Unbekannten gel�st werden kann.

Die Punkte und der Darstellungsbereich
k�nnen mit der Maus verschoben werden.

Beispiel

geg.: A(-1|12), B(2|15), C(5|-18)
ges.: a, b, c ∈ R, so da� A, B und C auf y = ax� + bx + c liegen.

Setze die Koordinaten von A in die Funktion ein:    12 = a�(-1)� + b�(-1) + c
                                                       = a - b + c

 "   -   "   -   "        B       "    -    "       15 = a�2� + b�2 + c
                                                       = 4a + 2b + c

 "   -   "   -   "        C       "    -    "      -18 = a�5� + b�5 + c
                                                       = 25a + 5b + c

Ergibt: f(x) = -2x� + 3x + 17

Probe f�r Punkt A: -2�(-1)� + 3�(-1) + 17 = -2 - 3 + 17 = 12   OK
                B: -2�2� + 3�2 + 17 = -8 + 6 + 17 = 15         OK
                C: -2�5� + 3�5 + 17 = -50 + 15 + 17 = -18      OK

L�st man das Gleichungssystem f�r den allgemeinen Fall, also f�r die Punkte P1(x1|y1), P2(x2|y2) und P3(x3|y3), so erh�lt man eine Formel f�r die Koeffizienten:

x1�a + x1b + c = y1
 :x1�
x2�a + x2b + c = y2
x3�a + x3b + c = y3



a + x1/x1��b + 1/x1��c = y1/x1�

x2��a + x2�b + c = y2
 -x2��I
x3��a + x3�b + c = y3
 -x3��I



a + 1/x1�b + 1/x1��c = y1/x1�

(x2-x2�/x1)�b + (1-x2�/x1�)�c = y2-x2�y1/x1�
(x3-x3�/x1)�b + (1-x3�/x1�)�c = y3-x3�y1/x1�



a + 1/x1�b + 1/x1��c = y1/x1�

(x1x2-x2�)/x1�b + (x1�-x2�)/x1��c = (x1�y2-x2�y1)/x1�
 �(x1/(x1x2-x2�)
(x1x3-x3�)/x1�b + (x1�-x3�)/x1��c = (x1�y3-x3�y1)/x1�



a + 1/x1�b + 1/x1��c = y1/x1�
 -1/x1�II
b + (x1�-x2�)/(x1�x2-x1x2�)�c = (x1�y2-x2�y1)/(x1�x2-x1x2�)
(x1x3-x3�)/x1�b + (x1�-x3�)/x1��c = (x1�y3-x3�y1)/x1�
 -(x1x3-x3�)/x1�II


          usw.




a = (x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2))/((x1-x2)(x1-x3)(x3-x2))

b = (x1�(y2-y3)+x2�(y3-y1)+x3�(y1-y2))/((x1-x2)(x1-x3)(x2-x3))
c = (x1�(x2y3-x3y2)+x1(x3�y2-x2�y3)+x2x3y1(x2-x3))/((x1-x2)(x1-x3)(x2-x3))

Mit den so gewonnenen Koeffizienten a, b und c stellt sich die Formel f�r die x-Koordinate des Scheitelpunktes (siehe →hier) so dar:

xS = (x2�(y3 - y1) - x1�(y3 - y2) - x3�(y2 - y1))/(2(x2(y3 - y1) - x1(y3 - y2) - x3(y2 - y1)))

Mit ihr ist es m�glich, aufgrund dreier Punkte einer Parabel die Stelle ihres Extremwerts (=Scheitelpunkt) direkt zu berechnen.

Ist der Abstand der x-Werte konstant d, und gilt x1+d=x2=x3-d, so reduziert sich dies zu:
xS = x2 + d/2�(y3 - y1)/(2y2 - y1 - y3)

Beispiel: P1(-4|-2), P2(1|10), P3(6|7), also ist d=5, und xS = x2 + d/2�(y3 - y1)/(2y2 - y1 - y3) = 1 + 2,5�(7 - (-2))/(20 - (-2) - 7) = 1 + 2,5�9/15 = 2,5

Rechner

Gib die Koordinaten der Punkte ein. Berechnet werden die Funktionsgleichung in Normalform und Scheitelpunktform sowie die Nullstellen (x1 und x2) und der Scheitelpunkt (S). Die berechnete Parabel wird rechts automatisch gezeichnet.

Alternative Eingabe (Punkte mit Koordinaten (x|y) und/oder Gleichungen mit Parametern a, b und c)

Falls Normalparabeln durch 2 Punkte gesucht werden, k�nnen hier a=1 und die beiden Koordinatenpaare eingegeben werden. Es sind aber auch andere Festlegungen von Parametern und Scheitelpunktkoordinaten (mit xs= bzw. ys=) oder die Definition von Zusammenh�ngen zwischen den Parametern m�glich. Mit f() und f'() k�nnen Funktions- und Ableitungswerte referenziert werden. Au�erdem stehen die meisten elementaren Standardfunktionen zur Verf�gung. Sowohl die Argumente dieser Funktionen als auch die Koordinaten der Punkte k�nnen Terme sein, die auch die Parameter enthalten d�rfen.

Wie berechnet man eine Parabel mit 2 Punkten?

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