Wann absolute winkelbeschleunigung gleich 0

Q: Ist die Winkelgeschwindigkeit überall gleich?

Gemäß dem zweiten Keplerschen Gesetz ist die Winkelgeschwindigkeit eines Planeten auf einer elliptischen Umlaufbahn in Bezug auf die Sonne vom jeweiligen Abstand abhängig und variiert somit längs der Bahn.

Q: Wie groß ist die Winkelbeschleunigung?

Die SI-Einheit der Winkelbeschleunigung ist rad/s2 (Radiant pro Sekunde zum Quadrat). eines Punktes, welche die Ableitung der Bahngeschwindigkeit nach der Zeit darstellt: mit dem Abstand R von der Drehachse; die Tangentialbeschleunigung hat die Einheit Meter/s2.

Die Newtonsche Bewegungsgleichung (3.1) gilt nur in Inertialsystemen. Untersucht man einen Bewegungsvorgang in einem System, das kein Inertialsystem ist, dann muß man Zusatzeffekte berücksichtigen, die von der beschleunigten Bewegung des Systems und der Trägheit der Massen herrühren. In den Bewegungsgleichungen treten dann neben den eingeprägten Kräften noch die Trägheitskräfte auf.

Inhaltsverzeichnis Show

Ableitung der Geschwindigkeit, Beschleunigung und der Bewegungsgleichungen im bewegten System
Freier Fall auf der rotierenden Erde
Der Foucaultsche Pendelversuch
Die Lamorpräzession
Ist die Winkelgeschwindigkeit überall gleich?
Was gibt die Winkelbeschleunigung an?
Wie groß ist die Winkelbeschleunigung?
Ist kreisfrequenz gleich Winkelgeschwindigkeit?

Ein System heißt Inertialsystem, wenn in ihm ein Körper keine Beschleunigung erfährt, wenn keine äußeren Kräfte auf ihn wirken:

wenn

(81)

Wir betrachten die Menge der Inertialsysteme. Das erste sei das von Gl. (8.1). Ein zweites sei:

(82)

Aus (8.1) und (8.2) folgt, daß die Beschleunigungen gleich sein müssen. Zweimalige Integration dieser Gleichung gibt:

Die letzte Beziehung besagt, daß es eine 6-parametrige Menge von Inertialsystemen gibt. Jedes Element ist durch ein spezielles Wertesextupel der Integrationskonstantenundgekennzeichnet. Die Erfahrung zeigt, daß es solche Koordinatensysteme tatsächlich gibt: Systeme, die relativ zum Fixsternhimmel in gleichförmiger Bewegung sind, sind in guter Näherung Inertialsysteme.

Abbildung: Raumfestes Systemund körperfestes System.

Abbildung: a) Der Winkelzwischen dem raumfesten Einheitsvektorund dem körperfesten Einheitsvektor. b) Das gestrichene System Koordinatensystem ist gegen das ungestrichene um den Winkelverdreht.[]

[]

Wir betrachten zwei rechtshändige Koordinatensysteme (Abb. 8.1). Das erste System,, mit den orthonormierten Basisvektoren

heißt raumfestes System; es ist ein Inertialsystem. Das zweite System,, ist ebenfalls ein rechtshändiges mit den orthonormierten Basisvektoren

; es heißt körperfestes System. Es wird später ein bewegtes, sogar beschleunigtes System sein; zunächst wird es ebenfalls als fix betrachtet. Der Vektorweist vom Ursprungdes Systemszum Ursprungvon. Zu ein- und demselben Raumpunktweist vonder Vektor(mit Komponentenbezüglich) und vonder Vektor(mit Komponentenbezüglich) :

(84)

Inlauten die Komponenten dieser Vektorgleichung:

(85)

DieMatrix

mit

(86)

ist aus den Komponenten gebildet, die die Basisvektorendes Systemsbezüglichhaben; sie werden durch Normalprojektion der Einheitsvektorenauf die Koordinatenachsen vongebildet und sind gleich den Richtungskosinussen, Abb. 8.2(a). Der Winkelliegt in der Ebene, die von den beiden eben genannten Vektoren aufgespannt wird. Die Drehmatrix

ist reell und orthogonal:

(a)

(b)(87)

Für den Spezialfall, daß die Ursprünge der beiden Systeme zusammenfallen und das gestrichene Systemgegenüber dem ungestrichenenum den Winkelverdreht ist, ergibt sich (Abb. 8.2(b)):

(88)

Echte Vektoren können parallel zu sich selbst im Raum verschoben werden. Sie lassen sich als Differenzen von Ortsvektoren darstellen. Gemäß dieser Definition ergibt sich aus (8.5) für echte Vektoren das folgende Transformationsgesetz

(89)

Abbildung 8.3: Die Eulerschen Winkel.

Wenn zwei rechtshändige Koordinatensystem irgendwie zueinander stehen, kann man das eine in das andere durch zwei Operationen überführen: 1) durch eine Translation um einen Vektorschiebt man den einen Ursprung in den anderen; 2) durch eine Drehung bringt man entsprechende Koordinatenachsen zur Deckung. Diese Drehung kann auf mehrere Weisen festgelegt werden. Hier werden nur zwei behandelt: a) die Angabe eines Drehvektors: b) durch drei Winkel, die Eulerschen Winkel.

Wir beschränken uns nun auf die Drehungen, setzen also bis auf weiteres den Vektorin Gl. (8.5) Null. Eine Drehung kann durch die Angabe eines Einheitsvektorsfür die Drehachse und eines Drehwinkelsfestgelegt werden. Dann kann man die Komponenten der Basisvektoren des gedrehten Systemsmittels des Drehtensors berechnen:

Diese Darstellung hat den Nachteil, daß die 4 Parameterundeiner Nebenbedingung unterworfen sind ().

Es ist zweckmäßiger, ein System von 3 Winkeln zu verwenden, die voneinander unabhängig sind. Ein solches sind eben die Eulerschen Winkel. Diese geben die Lage des körperfesten Systemsrelativ zu raumfestenan. Letzteres wird in seine in Abb. 8.3 angegebene Endlage in 3 Schritten übergeführt: Zuerst wird das gestrichene System um die 3-Achse (die 3'-Achse fällt während dieses Schrittes noch mit der 3-Achse zusammen) um den Winkelin positivem Sinn gedreht. Die neue Lage der 1'-Achse heißt die Knotenlinie. Im zweiten Schritt wird das körperfeste System um die Knotenlinie um den Winkelgedreht. Diesen Winkel schließen auch die 1'-, 2'-Ebene und die 1-, 2-Ebene ein. Die momentane Stellung der 2'-Achse gibt die Querachse. Im letzten Schritt werden die 1'- und 2'-Achse um den Winkelum die 3'-Achse in die Endlage gedreht.

Der vom gemeinsamen Ursprungbeider Systeme zum Punktweisende Vektorhat indie Komponenten, indie Komponenten.

(812)

Die Komponenten werden gemäß Gl. (8.5) umgerechnet:

(813)

Die orthogonale Transformationsmatrix ist gegeben durch:

(814)

Diese Matrix kann berechnet werden, indem man zuerst die einzelnen Drehungen ausrechnet. Diese sind

und

. Die erste und die letzte Drehmatrix ergeben sich aus (8.8), indem man fürden entsprechenden Winkel einsetzt. Für die Drehung um die Knotenlinie findet man:

Die gesamte Drehmatrix ergibt sich dann durch Matrizenmultiplikation und liefert obige Matrix (8.14).

Für ein anderes Verfahren wird Gl. (8.12) mitüberschoben, der resultierende Ausdruck wird mit Gl. (8.5) verglichen. Dies gibt:

(815)

Die Matrixelementekönnen also aus den inneren Produkten der Basisvektoren bestimmt werden. Die Basisvektoren vonsind einfach, Gl. (8.16a); die Komponenten der Basisvektoreninberechnet man mit Hilfe der Abb. 8.3.undkann man zunächst auf(in Richtung der Knotenlinie) und(in Richtung der Querachse) aufspannen. Wir geben die benötigten Basisvektoren an, bei manchen werden für spätere Anwendungen die Komponenten bezüglichundbenötigt.

(816)

Jetzt nehmen wir an, die Lage des körperfesten Systemsändert sich im Laufe der Zeit. In der Transformationsgleichung (8.5) sind der Vektor

und die Matrixelemente

Funktionen der Zeit. Dies muß bei der Berechnung der Geschwindigkeit

und der Beschleunigung

berücksichtigt werden.

Hiebei ist eine gesonderte Untersuchung der Zeitableitung einer orthogonalen Transformationsmatrix nötig. In diesem Fall unterscheiden sich die symbolische und die analytische (Tensor-)schreibweise mehr als sonst. Deshalb geben wir diese Ableitung in beiden Fällen an. Die symbolische Schreibweise erscheint einfacher und übersichtlicher, bei der Berechnung komplifzierterer Probleme kann die analytische vorteilhafter sein. Es gibt ja zwei Bezugssysteme, das raumfeste und das körperfeste. Jede symbolische Gleichung muß bei einer konkreten Rechnung in einem der beiden Systeme ausgewertet werden und dies kann in komplexeren Fällen schwierig werden. Bei der analytischen Schreibweise sind die Formeln länglicher weil die Transformationen zwischen den Systemen immer explizit angegeben sind.

Die Drehung des körperfesten Systems kann durch einen Vektor beschrieben werden, der die Winkelgeschwindigkeit genannt wird. Dies ist anschaulich klar. Wir zeigen jetzt wie die zeitliche Änderung der Basisvektoren durch diesen Vektor ausgedrückt werden kann.

Die Basisvektoren

des rotierenden Koordinatensystems sind normiert und stehen paarweise aufeinander orthogonal:

(817)

Sie sind zeitabhängig. Die Zeitableitung steht auf dem ursprünglichen Vektor senkrecht, wie aus Gl. (8.17) folgt.

(818)

Das Vektorprodukt zweier Basisvektoren gibt den dritten. Durch Differentiation nach der Zeit folgt daraus:

(819)

Daraus folgt durch vektorielle Multiplikation mit

Skalare Multiplikation der letzten Gleichung mit

macht auch den dritten Term zu Null. Gleichzeitig gibt dies das Spatprodukt:

Differenziert man Gl. (8.17) für

nach der Zeit, findet man:

(820)

Deswegen ist der zweite Faktor der vorletzten Gleichung Null, damit auch das Spatprodukt der Zeitableitungen der Basisvektoren; diese liegen daher in einer Ebene.sei ein Einheitsvektor senkrecht zu dieser Ebene.

Wegen Gln. (8.18) und (8.20) steht

senkrecht aufund auf. Daher kann man die Zeitableitungen der Basisvektoren schreiben als:

(821)

In obiger Gleichung darf über den wiederholten Indexnicht summiert werden. Setzt man (8.21) in (8.20) ein, ergeben sich:

und zwei analoge Gleichungen für

und

. Da die drei Basisvektoren paarweise orthogonal sind, können nicht alle drei inneren Produkte

gleichzeitig Null sein. Daher müssen alle drei Differenzen derNull, also alle dreigleich sein. Damit kann man Gl. (8.21) in folgender endgültiger Form schreiben:

(822)

Der Vektorist der Vektor der Winkelgeschwindigkeit, wie er auch unten in Gl. (8.28) definiert ist. Seine Richtung gibt die Richtung der Drehachse, seine Länge den Betrag der Winkelgeschwindigkeit an.

Bei der Berechnung der Geschwindigkeit durch Differentiation des Ortsvektors nach der Zeit muß man beachten, daß auch die Basisvektoren des bewegten Systems Funktionen der Zeit sind.

(823)

(824)

Zur Umrechnung des letzten Termes der letzten Gleichung wurde Gl. (8.21) herangezogen.bedeutet, daß bei der Ableitung nur die gestrichenen Koordinaten nach der Zeit differenziert werden, nicht aber die zeitabhängigen Basisvektoren. Die Geschwindigkeit im raumfesten System wie diese auf der linken Seite steht, wird auf der rechten Seite aus drei Beiträgen zusammengesetzt: 1) Aus der Bewegung des Ursprungsdes gestrichenen Systems, 2) aus der Geschwindigkeit des Massenpunktes relativund 3) aus der Drehung des Systems.

Wird Gl. (8.24) nach der Zeit differenziert, erhält man die Beschleunigung. Auf der rechten Seite werden wieder die Zeitableitungen

gemäß Gl. (8.22) ersetzt. Dies gibt dann:

(825)

Die Beschleunigung im raumfesten System kann zusammengesetzt werden aus:

1) der Beschleunigung des Urprungs,
2) der Relativbeschleunigung,
3) der Winkelbeschleunigung der Drehungs von,
4) der Coriolisbeschleunigung,
5) der Zentripetalbeschleunigung.

Die Newtonsche Bewegungsgleichung

gilt nur im raumfesten System, da dieses nach Voraussetzung ein Inertialsystem ist. Aus der obigen Gleichung für die Beschleunigung kann man aber eine Gleichung für die Beschleunigung relativ zubilden:

(826)

Die Beschleunigung relativ zuwird verursacht durch 1) die eingeprägte Kraft(der Strich bedeutet, daß die eingeprägte Kraft ins beschleunigte System umgerechnet werden muß) und aus den Trägheitskräften 2) resultierend aus der beschleunigten Bewegung von, 3) aus der beschleunigten Drehung von, 4) aus der Corioliskraft und 5) aus der Zentrifugalkraft.

Wir gehen von Gl. (8.5) aus. Im allg. sind die Komponentendes Translationsvektors und die Elementeder Drehmatrix gegebene Funktionen der Zeit. Wieder ist eine gesonderte Untersuchung der Zeitableitung dieser Matrix nötig; dies führt neuerlich auf den Vektor der Winkelgeschwindigkeit mit den Komponenten.

Wir betrachten zunächst eine reine Drehung, also Gl. (8.5) mit; daher ist. Ebenso sei der Punktfix in(Abb. 8.3):

const.(827)

Die Matrixelementeder Drehmatrix sind miteinander verknüpft durch die Orthonormierungsrelationen (8.9). Von diesen wird das System (a) nach der Zeit abgeleitet:

Man sieht: Die Matrixist schiefsymmetrisch. Sie enthält (wie auch jeder schiefsymmetrsiche Tensor 2. Stufe in 3 Dimensionen) nur drei unabhängige Elemente. Daher kann maneinen dreidimensionalen Vektor zuordnen. Dafür wählen wir folgende Definition:Überschieben dieser Gleichung mitgibt mit den Orthonormierungsrelationen (8.7) folgenden Ausdruck für die Zeitableitung von:
sind die Komponenten des Vektorsder Winkelgschwindigkeit, und zwar bezogen auf das raumfeste System. Diese Komponenten können gemäß Gl. (8.9) ins bewegte System transformiert werden (

). Damit, mit den Orthonormierungsrelationen (8.7) und mit der Transformationsformel für einen Tensor 3. Stufebekommt man aus (8.29a):

Gln. (8.29a) und (8.29b) dienen zur Ersetzung der Zeitableitung; Gl. (8.29a) wird verwendet, wenn man die Winkelgeschwindigkeit im raumfesten System ausdrücken will, Gl. (8.29a) im körperfesten. In beiden Formeln werden die Größen, die zunächst inberechnet worden sind, mittels einesins körperfeste System transformiert und umgekehrt.

Zur Interpretation des Vektors

, der in Gl. (8.28) definiert worden ist, differenzieren wir Gl. (8.5) (mit) nach der Zeitund setzen Gl. (8.5) und (8.29a) ein:

Abbildung 8.4: Vektor der Winkelgeschwindigkeit.

Aus dieser Gleichung und aus Abb. 8.4 sieht man, daß der Vektoreine Drehung vermittelt, denn die Geschwindigkeit steht senkrecht zuund zu

. Der Einheitsvektor

gibt die momentane Drehachse, der Betragdie Geschwindigkeit der Drehung, also die Winkelgeschwindigkeit. Man kann auch Gl. (8.30) als eine Definition der Winkelgeschwindigkeit betrachten. Man sieht, daß dieser Vektor nicht eine Ableitung ist, aber über eine Ableitung auf der linken Seite der Gleichung definiert ist. Deswegen stellt im allg. der Vektor der Winkelgeschwindigkeit keine Ableitung eines Vektors dar (

, er ist anholonom. Solche ''Geschwindigkeiten'', die nur über Linearkombinationen von Geschwindigkeiten und nicht durch Ableitungen definiert sind, heißen ''Quasikoordinaten'' (vgl. Gl. (11.22)). Deswegen ist es in manchen Fällen zweckmäßig, von der Winkelgeschwindigkeit auf die Eulerschen Winkel und deren Zeitableitungen überzugehen. Letztere Größen sind holonom, also Ableitungen von Funktionen.

Die Komponenten der Winkelgeschwindigkeitlassen sich auch durch die Eulerschen Winkel, §8.3, und deren Zeitableitungen ausdrücken. Dazu wird die gesamte Drehung zerlegt in eine solche ummit der Winkelgeschwindigkeit, in eine solche ummit der Winkelgeschwindigkeitund in die Drehung ummit der Winkelgeschwindigkeit. Man erhält die Komponentenbzw., wenn man für

die Komponenten bezüglichbzw., Gln. (8.16), nimmt.

(831)

Die Winkelgeschwindigkeiten

sind Ableitungen der holonomen Koordinaten

. Dagegen sind die Komponenten des Vektors der Winkelgeschwindigkeitanholonom.

Ableitung der Geschwindigkeit, Beschleunigung und der Bewegungsgleichungen im bewegten System

Zur Ableitung eines allgemeinen Ausdrucks für die Transformation der Geschwindigkeit wird Gl. (8.5) nach der Zeit differenziert. Dabei wird berücksichtigt, daß,undFunktionen der Zeit sind.wird mittels Gl. (8.29) eliminiert.

Benutzt man zur Elimination vonGl. (8.29b), dann erhält man eine zweite Gleichung:
In der symbolischen Schreibweise der Vektorrechnung wird Gl. (8.32a) folgendermaßen geschrieben:
Darin bedeutet

, daß nur die Komponenten von, nicht aber die zeitlich veränderlichen Basisvektoren vonnach der Zeit differenziert werden. Die Schreibweise von Gl. (8.32c) erscheint kompakter als die der Gln. (8.32a) oder (8.32b). Jedoch besteht in Gl. (8.32c) manchmal Unklarheit, welche Größen in welchem System zu berechnen sind. Diese Schwierigkeit wird sehr groß, wenn mehrere Systeme mit verschiedenen relativen Bewegungen vorkommmen.
Für die zeitliche Änderung eines echten Vektorsergibt sich aus Gl. (8.32a):

(833)

Speziell für die Winkelgeschwindigkeitfolgt daraus:

(834)

Differentiation der Gln. (8.32) und nochmalige Verwendung von Gln. (8.29) gibt für die Beschleunigung

Zur Interpretation der Zentripetalbeschleunigung wählen wir wieder den Spezialfall von Gl. (8.27) mit

Abbildung 8.5: Vektor der Zentripetalbeschleunigung.

Durch die Rotation des Systems wird der Massenpunkt senkrecht zur Drehachse einwärts beschleunigt (Abb. 8.5). Die Coriolisbeschleunigung erfahren nur Körper, die sich relativ zu einem rotierenden System bewegen. Das System wird unter der fliegenden Masse weggedreht. Für einen körperfesten Beobachter ist die Bahn eines frei fliegenden Körpers nicht mehr eine Gerade.
Die Bewegungsgleichungen im körperfesten System erhält man aus der im raumfesten Inertialsystem gültigen Bewegungsgleichung, indem man für(8.35b) einsetzt und durch Überschieben mitins körperfeste Systemtransformiert.
Umordnen der Terme ergibt:

(836)

enthält die eingeprägten Kräfte. Wenn diese im raumfesten System gegeben sind, müssen sie ins körperfeste transformiert werden, Gl. (8.9). Die anderen Terme auf der rechten Seite von Gl. (8.36) resultieren aus der Bewegung des Bezugssystems und werden daher Trägheits- oder Scheinkräfte genannt. Z.B. wird ein im körperfesten System fixer Punkt bei Rotation zum Zentrum hin beschleunigt. Ist an diesem Punkt eine Masse, so wird sie sich auf Grund ihrer Trägheit dieser zentripetalen Beschleunigung widersetzen, sie wird ''scheinbar'' nach außen gezogen (Zentrifugalkraft, vgl. Abb. 8.5.

Freier Fall auf der rotierenden Erde

Dieser wird durch Gl. (8.36) beschrieben. Das körperfeste Systemliegt auf der Erdoberfläche (siehe Abb. 8.6).ist die geographische Breite. Die Transformationsmatrix ist:

mit

Abbildung 8.6: Freier Fall auf rotierende Erde.

Damit ergibt sich für die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit:

(837)

Dieses Resultat läßt sich auch aus Abb. 8.6 ablesen. Die Translationsbeschleunigung istDie Fallhöhesei klein gegen die Erddimension. Dann kann man mit der konstanten Fallbeschleunigungarbeiten. In letzterer ist schon zum Teil die Führungsbeschleunigung enthalten; diese ist überdies wegen der Kleinheit der Winkelgeschwindigkeit der Erde

s(838)

als quadratisch ingegenüber der inlinearen Coriolisbeschleunigung vernachlässigbar. Damit erhält man aus (8.36) die Bewegungsgleichung:Dieses System von Differentialgelichungen läßt sich exakt lösen. Doch ist es zweckmäßiger, ein Näherungsverfahren heranzuziehen. Dieses beruht auf der Tatsache, daß die Wirkung der Corioliskraft klein ist im Vergleich zur Fallbeschleunigung. Allgemein wird (8.39) geschrieben als

(840)

ist hier die Corioliskraft und wegen ihrer Kleinheit im Vergleich zu

heißt

die Störung. Zuerst wird die ungestörte Bewegungsgleichung
gelöst; man erhält

als nullte Näherung. Letztere wird in die rechte Seite von Gl. (8.40) eingesetzt. Die Gleichung für die so erhaltene erste Näherung
läßt sich leichter lösen als die exakte Gl. (8.40). In vielen Fällen liefert die Lösung von Gl. (8.40b) eine hinreichende Näherung.
Die Anwendung dieses Verfahrens auf Gl. (8.39) läuft so: Die Gleichungen der ungestörten Bewegung sind:

(841)

Ihre Lösungen zu den Anfangsbedingungen sind:

(842)

Diese werden in die rechte Seite von Gl. (8.39) eingesetzt und geben

(843)

Integration gibt unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen (8.42) die folgende erste Näherung:

(844)

Die Falldauerbis zum Boden und die Abweichung inbetragen

(845)

Fürm und

gibt dies eine Ostabweichung

cm.

Der Foucaultsche Pendelversuch

Der Focaultsche Pendelversuch ist darauf ausgerichtet, die Rotation der Erde relativ zum Inertialsystem des Fixsternhimmels zu zeigen. Bei der Beobachtung der Schwingung eines Pendels von einem erdfixen System aus, übt die Corioliskraft einen Einfluß auf die bewegte Pendelmasse. Wir werden zeigen, daß sie zu einer Drehung der Schwingungsebene des Pendels relativ zum Erdsystem führt.
Die Bewegungsgleichung für den Foucaultschen Pendelversuch erhält man aus der für den freien Fall auf der rotierdenden Erde, Gl. (8.39), indem man die Nebenbedingung für die Führung auf der Kugelfläche mit dem Radius

(= Pendellänge) hinzufügt:

Gemäß Gl. (6.6) tritt zu den obigen beiden eingeprägten Kräften in der Bewegungsgleichung noch die Zwangskraft hinzu. Die neue Bewegungsgleichung ist daher (mitstatt mitals Lagrangeschem Multiplikator)Dieses System wird näherungsweise für kleine Ausschläge gelöst

(848)

Wegen der Kleinheit von, Gl. (8.38), wird in der letzten der obigen Bewegungsgleichungen (8.47) der Term proportionalgegenvernachlässigt. Für kleine Ausschläge gestattet die resultierende Gleichung den Lagrangeschen Multiplikator zu bestimmen:

Dieser Wert wird in die beiden Bewegungsgleichungen fürund, Gl. (8.47), eingesetzt; die resultierenden Gleichungen werden zu einer einzigen Differentialgleichung für die komplexe Variablevereinigt:Letztere wird durch Exponentialansatz gelöstZu den Anfangsbedingungen

ergibt sich als Lösung und deren Zeitableitung:

(851)

Nullstellen hat, verschwindetfür diese Werte von; es sind alsoundgleichzeitig Null, die Bahnkurve hat an diesen Stellen Spitzen; s. Abb. 8.7. Die Zeit zwischen dem Durchlaufen zweier aufeinanderfolgender Spitzen, also der Abstand zweier aufeinanderfolgender Nullstellen von

, ist die halbe Schwingungsdauerdes Pendels

Der Winkelzwischen den momentanen Schwingungsebenen zur Zeitund zur ZeitistZum Abschluß ein Zahlenbeispiel füraus (8.38):

Abbildung 8.7: Drehung der Schwingungsebenen eines Pendels aufgrund der Rotation der Erde. Die Breitenabhängigkeit des Foucaultschen Pendels wird im Notebook K8FoucaultP.nb simuliert.

Die Lamorpräzession

In einem Inertialsystem werde einem gegebenen eingeprägten Kraftfeld

ein homogenes Magnetfeldüberlagert, das so schwach ist, daß die Lorentzkraft auf ein Teilchen der Ladungklein ist im Vergleich zu

. Das Theorem von Larmor besagt, daß unter dieser Bedingung die Lorentzkraft nur zu einer Rotation der ungestörten Bahn mit der Winkelgeschwindigkeit

(852)

(Larmorpräzession) führt.

heißt Lamorfrequenz. Z.B. ein Elektron bewegt sich im elektorstatischen Feld des Atomkerns. Seine Bahn ist eine Keplerellipse. Wird dieses Atom in ein schaches homogenes Magnetfeld gebracht, dann rotiert die Keplerellipse mit

um die magnetische Feldrichtung. In einem beliebigen Zentralkraftfeld ist die Bahn eben. Unter dem Einfluß des zusätzlichen schwachen Magnetfeldes rotiert die Bahnnormale (prop. dem Drehimpulsvektor) mit der Frequenz

auf einem Kegel, dessen Achse mit der Richtung des Magnetfeldes zusammenfällt.
Dieses Theorem ist besonders wichtig in der Atomphysik für Systeme mit mehreren Elektronen; deren Bewegungsgleichungen lassen sich nur schwer lösen. Das Larmorsche Theorem gestattet es, die Aufspaltung der Spektrallinien durch ein Magnetfeld, den ZEEMANEFFEKT, unmittelbar zu berechnen.
Zur Illustration betrachten wir einen harmonischen Oszillator in einem Magnetfeld. Der Einfachheit halber nehmen wir an, die Anfangsbedingungen seien derart, daß die Bewegung auf die Ebene senkrecht zu() beschränkt ist

Die beiden Bewegungsgleichungen werden, wie angedeutet, zu einer komplexen vereinigt und diese mittels Exponentialansatz gelöstBei der Berechung der Näherungswerte fürundwurde berücksichtigt, daß die Lorentzkraft klein ist gegnüber der elastischen Bindung, d.h.

. Man sieht bereits hier, daß in dieser Näherung die Bewegung im Magnetfeld beschrieben ist durch den Ausdruck in der Klammer, der einer ungestörten Oszillation entspricht, während der Vorfaktor die Rotation mit der Larmorfrequenz

widergibt. Setzen wir

,reell, so entspricht dies einer Oszillation längs des Strahls

; die vollständige Näherungslösung enthält zusätzlich eine Rotation dieser Strecke mit der Larmorfrequenz.
Beweis des Larmorschen Theorems: In einem Inertialsystem lautet die Bewegungsgleichung:

(853)

In einem System, das mit konstanter Winkelgeschwindigkeitrotiert, lautet die Bewegungsgleichung (Gl. (8.53))

(854)

Der Zentrifugalterm kann vernachläßigt werden, wennklein ist. Dann heben sich die Lorentzkraft und die Corioliskraft auf, wenn

gewählt wird. Wegen Gl. (8.9) gilt dann die Behauptung (8.52).
Ist

eine Zentralkraft, dann ist der Drehimpuls zeitlich konstant in einem Inertialsystem. Für

und unter den angegebenen Näherungen hat auch die Bewegungsgleichung (8.54) die gleiche Form wie in einem Inertialsystem. Im rotierenden System ist also der Drehimpulsvektor zeitlich konstant. Gemäß (8.9) und (8.33) gilt dann im raumfesten System:

(855)

Es ist nicht schwer mit Hilfe dieser Gleichung zu zeigen, daß das Quadratund die Komponente vonin Richtung von, also, konstant sind. Der Drehimpulsvektor bewegt sich also auf einem Kegel, dessen Achse mit der Feldrichtung zusammenfällt.

Die Problemstellung wird zuerst an einem Beispiel erklärt. Die Bewegung eines Massenpunktes soll in ebenen Polarkoordinaten beschrieben werden (Abb. 8.8). Der Ortsvektor

Ist die Winkelgeschwindigkeit überall gleich?

Gemäß dem zweiten Kepler'schen Gesetz ist die Winkelgeschwindigkeit eines Planeten auf einer elliptischen Umlaufbahn in Bezug auf die Sonne vom jeweiligen Abstand abhängig und variiert somit längs der Bahn.

Was gibt die Winkelbeschleunigung an?

Die Winkelbeschleunigung beschreibt die zeitliche Änderung der Winkelgeschwindigkeit. Dies bedeutet, dass die Winkelbeschleunigung die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit ist.

Wie groß ist die Winkelbeschleunigung?

Die SI-Einheit der Winkelbeschleunigung ist rad/s² (Radiant pro Sekunde zum Quadrat). eines Punktes, welche die Ableitung der Bahngeschwindigkeit nach der Zeit darstellt: mit dem Abstand R von der Drehachse; die Tangentialbeschleunigung hat die Einheit Meter/s².

Ist kreisfrequenz gleich Winkelgeschwindigkeit?

Die Kreisfrequenz beschreibt die Abstrakte Änderungsrate des Phasenwinkels in der komplexen Ebene. Die Winkelgeschwindigkeit beschreibt die Änderung eines physikalischen Winkels an einem physikalischen Körper pro Zeiteinheit.