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Potenzen berechnenWie man Potenzen berechnet, weißt du schon. Das Quadrat einer Zahl ist die Zahl mit sich selbst multipliziert. Die fünfte Potenz einer Zahl ist ein Produkt mit fünf Faktoren, die alle dieselbe vorgegebene Zahl sind. Aber was passiert, wenn eine Null im Exponenten steht? Kann man eine Zahl nullmal mit sich selbst multiplizieren? Show
Vielleicht hast du sogar schon einmal gehört, dass jede Zahl mit einer Null im Exponenten eins ergibt. Aber warum ist das so? Damit wollen wir uns im Folgenden beschäftigen. Wir betrachten zunächst Potenzen zur Basis $2$: Setzt du $1$ als Exponenten, so erhältst du $2^{1} =2$. Dann geht es weiter mit $2^{2}=4$, $2^{3}=8$, $2^{4}=16$ usw. Wächst der Exponent der Potenz um $1$, so ändert sich der Wert der Potenz um den Faktor $2$. Denn bei einer Potenz der Basis $2$ gibt der Exponent an, wie oft die Zahl $2$ mit sich selbst multipliziert wird. Umgekehrt wird der Wert der Potenz durch $2$ dividiert, wenn wir den Exponenten um $1$ verkleinern: $2^4 : 2 = 2^{3}$ Denn $2^{4} = 16$ und $16:2 = 8 = 2^{3}$. Setzen wir die Folge der Potenzen fort, indem wir die Exponenten verkleinern, so erhalten wir $2:2=1$. Da $2^{1} = 2$ ist, muss $2^{0} = 1$ sein. Wir können die Reihe der Potenzen nach links verlängern, indem wir bei jedem Schritt nach links den Exponenten um $1$ verkleinern und den Wert der Potenz durch $2$ dividieren:  PotenzgesetzeFür das Rechnen mit Potenzen gelten verschiedene Potenzgesetze. Dividierst du zwei Potenzen derselben Basis, so musst du die Exponenten subtrahieren. Zum Beispiel ist $\frac{5^{7}}{5^{3}} = 5^{7-3} = 5^{4}$. Dividierst du eine Potenz durch sich selbst, so erhältst du nach diesem Potenzgesetz eine Potenz mit dem Exponenten $0$. Zum Beispiel ist $\frac{5^{3}}{5^{3}} = 5^{3-3} = 5^{0}$. Andererseits ist jede Zahl durch sich selbst geteilt stets $1$. Es ist also $\frac{5^{3}}{5^{3}}=1$ und $\frac{5^{3}}{5^{3}}=5^{0}$. Demnach muss $5^{0}=1$ sein. Null als ExponentIst $x \neq 0$ eine beliebige Zahl (außer $0$) und $m$ ein beliebiger Exponent, so gilt nach dem Potenzgesetz für die Division von Potenzen gleicher Basis: $1 = \frac{x^m}{x^m} = x^{m-m} = x^{0}$ Denn einen Bruch, bei dem Zähler und Nenner gleich sind, kannst du stets zu $1$ kürzen. Also gilt für jede Basis $x \neq 0$ das Gesetz über den Exponenten $0$: $x^{0} = 1$ Potenzen mit dem Exponenten $0$ berechnenDu kannst die Gleichung $x^{0}=1$ für jede beliebige Zahl $x$ anwenden. Setzt du zum Beispiel $x=y^{6}$ ein, so erhältst du: $\left(y^6\right)^{0} = x^0 =1$ Du kannst aber auch die Potenzgesetze verwenden, um den Term auszurechnen. Nach dem Gesetz über die Potenz von Potenzen kannst du die Exponenten multiplizieren und erhältst: $\left(y^6\right)^{0} = y^{(6 \cdot 0)} = y^0 =1$ Die Gleichung $x^{0}=1$ gilt also auch dann, wenn $x=y^{6}$ selbst bereits eine Potenz ist. Betrachten wir ein anderes Beispiel: $\left(5x^2y^3\right)^0$ Nach dem Gesetz über $0$ als Exponent ist dieser Term $1$. Mit den Potenzgesetzen kannst du nachrechnen, dass das stimmt. Du verwendest zuerst das Gesetz über die Multiplikation von Potenzen, dann das Gesetz über Potenzen von Potenzen und schließlich für jeden einzelnen Term das Gesetz über $0$ als Exponent: Du kannst also für jeden Ausdruck, der mit $0$ potenziert wird, die Zahl $1$ einsetzen – egal wie kompliziert der Ausdruck ist. Das vereinfacht manche kompliziert aussehenden Rechnungen sehr. Häufig gestellte Fragen zum Thema Null als ExponentZehnerpotenzen, auch Stufenzahlen genannt, sind Potenzen mit der Basis 10 und einem ganzzahligen Exponenten. Eine wichtige Anwendung der Zehnerpotenzen ist die Exponentialschreibweise von Gleitkommazahlen. Die Zehnerpotenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Zu Zahlennamen von Zehnerpotenzen siehe auch im entsprechenden Abschnitt in Zahlennamen. Hier die wichtigsten Zahlennamen von Zehnerpotenzen:
Der Exponent gibt dabei die Zahl der Nullen der Dezimalschreibweise der Zehnerpotenz an. Wenn dort 10 hoch sechs (106) steht, dann ist es also eine Million. Verwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Hertzsprung-Russell-Diagramm. Abszisse: Farbindex der Sterne, Ordinate: Leuchtkraft (Sonne = 1) in Zehnerpotenzen Da unser übliches Zahlensystem, das Dezimalsystem (zu lat. decimus „der Zehnte“), auf Zehnerpotenzen beruht, sind sie geeignet, auch sehr große und sehr kleine Zahlen kompakt zu schreiben. Sie bilden die Grundlage der wissenschaftlichen Schreibweise (kurz SCI für englisch scientific), die die Zahlen auf vorgestellte Mantisse und Exponent der Basis 10 reduzieren kann. Dazu als Beispiele: Auch die Achsen von Diagrammen werden oft nicht linear, sondern in Zehnerpotenzen als logarithmische Skala geteilt, wenn es um sehr große Wertebereiche geht. Ein Beispiel aus der Astronomie – die man ja mit „astronomisch großen Zahlen“ assoziiert – ist das Hertzsprung-Russell-Diagramm, das im nebenstehenden Bild auf der Ordinate eine Skala von 0,00001 bis 100 000 Einheiten der Sonnen-Leuchtkraft L0 zeigt. Dann liegt aber z. B. in der Mitte zwischen 10 und 100 L0 nicht der Wert 20 oder 50, sondern 31,63 L0. Dieser Wert ist nicht das arithmetische, sondern das geometrische Mittel von 10 und 100, d. h. die Wurzel aus 1000 bzw. 101,5. Rechnen mit Zehnerpotenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es gibt einige einfache Rechenregeln für das Rechnen mit Zehnerpotenzen:
Zehnerpotenzen und SI-Präfixe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Für Maßeinheiten definiert das Internationale Einheitensystem entsprechende Vorsilben:
Kulturelle Rezeption[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Was gibt eine Zahl hoch 1?Wenn der Exponent 1 ist, ist die Potenz gleich der Basis. Wenn der Exponent null ist und die Basis ungleich null, ist die Potenz 1.
Wie rechnet man etwas hoch 1 2?„Hoch einhalb“ ist dasselbe wie das Ziehen der 2. Wurzel. Allgemein: „Hoch 1 durch n“ ist dasselbe wie das Ziehen der n-ten Wurzel. Dabei ist a eine reelle Zahl größer 0, n ist eine natürliche Zahl größer 1.. 412=2√4=2.. 6413=3√64=4.. 8114=4√81=3.. 31n=n√3.. Ist alles hoch 0 gleich 1?Jede Zahl ungleich 0 hoch 0 ergibt 1. Dieses Gesetz trifft zu, ganz egal, welches andere Potenzgesetz noch im Spiel ist. Sei es das Gesetz für Potenzen von Potenzen das für die Multiplikation von Potenzen oder das für die Division von Potenzen.
Warum ist hoch 0 gleich 1?Natürliche Exponenten
Der Exponent 0 sagt aus, dass die Zahl 1 keinmal mit der Grundzahl multipliziert wird und allein stehen bleibt, sodass man das Ergebnis 1 erhält.
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1 hoch 13 gleich
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