Auf dieser Seite findest du alles, was du zum Thema Kurvendiksussion wissen musst. Schritt für Schritt erklären wir dir anhand von ausführlichen Erklärungen folgende Themen: Show
Inhaltsverzeichnis
Kurvendiskussion GrundlagenÜbersicht von geometrischen Eigenschaften, die bei einer Kurvendiskussion untersucht werden können: Zusätzlich werden wir folgende Themen untersuchen:
Schau dir vertiefend Daniels Einführungsvideo zum Thema Kurvendiskussion an! Kurvendiskussion Übersicht, Hilfe in Mathe, einfach erklärt, Mathehilfe | Mathe by Daniel Jung Extrempunkte (Hochpunkt & Tiefpunkt) berechnenVorgehen: 1. Notwendige Bedingung: 2. Hinreichende Bedingung: Für $f“(x_E)$ kann folgendes rauskommen:
3. y-Wert der
Extremstelle: Achtung! Es muss zwischen lokalen und globalen (oder absoluten) Extremstellen unterschieden werden! Stichwort: Randwerte! Randwerte in $f(x)$ einsetzen und Ergebnis mit y-Wert vom Extrempunkt vergleichen! In dem obigen Bild sieht man, dass der höchste Punkt bei $x=30$ liegt und nicht beim errechneten Hochpunkt! Merkt euch: Bei vorgegeben Intervall immer die Randwerte mit überprüfen! Unsere Mathe-Abi Lernhefte Erklärungen ✔ Beispiele ✔ kostenlose Lernvideos ✔ Neu! Beispiel zu ExtrempunktenUntersuche die Funktion $f(x)=\frac{2}{3}x^3+3x^2+4x$ mit $D = \mathbb{R}$ auf Extremstellen. Schritt 1 Erste Ableitung bilden und gleich Null setzen: Schritt 2 Zweite Ableitung bilden und Extremstellen einsetzen: $f“(x)=4x+6$. $ Schritt 3 $y$-Wert des Hoch- und Tiefpunktes berechnen: \begin{align*} Die Funktion f(x) besitzt einen Hochpunkt bei (-2|-4/3) und einen Tiefpunkt bei (-1|-5/3). Schau dir zum Thema Extremwerte beide Videos von Daniel an! Extremstellen/Extrempunkte Teil 1, 1.Ableitung=0 und f´´(x) ungleich 0 | Mathe by Daniel Jung Extremstellen/Extrempunkte Teil 2, mit Monotonietabelle | Mathe by Daniel Jung WendepunkteVorgehen: 1. Notwendige Bedingung: : $f“(x)=0 \ \Rightarrow$ wir erhalten potentielle Wendestellen $x_W$! 2. Hinreichende Bedingung: : $f“(x_W)=0$ und $f“'(x_W)\neq 0$ Für $f“'(x_W)$ kann folgendes rauskommen:
3. y-Wert der Wendestelle: $x_W$-Wert in f(x) einsetzen $\Rightarrow$ $W(x_W/f(x_W))$ Graphisch betrachtet handelt es sich bei einem Wendepunkt um einen Punkt, an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten ändert. Er wechselt an dieser Stelle entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt. Hinweise, wann man den Wendepunkt berechnen soll sind, wenn:
gefragt ist. Schaut euch unbedingt den Abschnitt „Was ist in der Funktion gegeben?“ an. Wenn $f(x)$ schon die Geschwindigkeit angibt und es wird nach der stärksten Zunahmegeschwindigkeit gefragt, dann benötigt man den Hochpunkt! Auch hier wieder der Hinweis mit den Randwerten! Hier sollten bei einem vorgegeben Intervall in die 1. Ableitung Randwerte und $x$-Wert von WP eingesetzt werden. Das, was jeweils raus kommt (die Änderung/Zunahme bei positivem Wert oder Abnahme bei negativem Wert) mit errechneten Wendestellen vergleichen. Unsere Mathe-Abi Lernhefte Erklärungen ✔ Beispiele ✔ kostenlose Lernvideos ✔ Neu! Beispiel zu WendepunktenUntersuche die Funktion $f(x)=\frac{2}{3}x^3+3x^2+4x$ mit $D = \mathbb{R}$ auf Wendestellen. Schritt 1: Zweite Ableitung bilden und gleich Null setzen: f“(x)=4x+6=0 liefert die mögliche Wendestelle x=-1,5. Schritt 2: Dritte Ableitung bilden und Wendestellen einsetzen: $f“'(x)=4\neq 0$. Da in der dritten Ableitung kein x vorkommt, sind wir hier fertig, denn die dritte Ableitung ist immer ungleich Null! Es liegt ein Rechts-links Wendepunkt vor. Schritt 3: y-Wert des Wendepunktes berechnen: y=f(-1,5)=-1,5. Schau dir die beiden Lernvideos von Daniel zum Thema Wendestellen an und vertiefe dein Wissen! Wendestellen/Wendepunkte bestimmen Teil 1, Mathehilfe online | Mathe by Daniel Jung Wendestellen/Wendepunkte bestimmen Teil 2, Mathehilfe online | Mathe by Daniel Jung MonotonieZur Beurteilung des Monotonieverhaltens (Steigungsverhaltens) einer Funktion f(x) kann die Ableitung f'(x) betrachtet werden. Bekanntlich liefert die erste Ableitung einer Funktion f(x) die Steigungsfunktion f’(x), welche die an jeder Stelle x beschreibt, ob der Graph gerade steigt ($\nearrow$) oder fällt ($\searrow$). Damit lässt sich der Monotoniesatz wie folgt formulieren: Streng monoton bedeutet hierbei, dass die Steigungsfunktion f'(x) an keiner Stelle x den Wert 0 annimmt! Streng monoton steigend – Ableitung überall echt größer Null. Monoton steigend – Ableitung überall größer oder gleich Null. Das Ganze soll euch anhand des folgenden Beispiels klar werden. Beispiel 1Die Funktion \begin{align*} soll mit Hilfe der ersten Ableitung auf ihr Monotonieverhalten untersucht werden. Das allgemeine Vorgehen lässt sich so ungefähr beschreiben:
Das Monotonieverhalten Lernvideo von Daniel hilft dir nochmals das Thema zu verstehen! Monotonie, Monotonieverhalten einer Funktion, Steigung untersuchen | Mathe by Daniel Jung KrümmungZur Beurteilung der Krümmung verwendet man häufig die zweite Ableitung. Es gilt \begin{align*} Das ganze soll euch anhand des folgenden Beispiels klar werden. Die Funktion \begin{align*} f(x)=x^2, \quad x \in \mathbb{R} \end{align*} soll mit Hilfe der zweiten Ableitung auf ihr Krümmungsverhalten untersucht werden. Wir bilden zunächst die zweite Ableitung \begin{align*} f'(x)=2x \quad \Rightarrow \quad f“(x)=2>0 \end{align*} und sehen, dass die zweite Ableitung stets größer als 0 und damit linksgekrümmt bzw. konvex ist. Daniel erklärt euch das Krümmungsverhalten einer Funktion nochmals per Video! Krümmungsverhalten einer Funktion, Wendepunkte, Änderung der Steigung | Mathe by Daniel Jung Wer mehr über die Konvexität einer Funktion erfahren möchte findet das in diesem Lernvideo von Daniel. Konvex, Konkav, Krümmung bei Funktionen, Übersicht und Berechnung | Mathe by Daniel Jung Grenzverhalten (limes)
Lass dir das Thema Grenzverhalten nochmals von Daniel erklären! Grenzverhalten, Globalverhalten bei Funktionen für x gegen Unendlich | Mathe by Daniel Jung SymmetrieSymmetrieeigenschaften bei ganzrationalen Funktionen:
Unsere Mathe-Abi Lernhefte Erklärungen ✔ Beispiele ✔ kostenlose Lernvideos ✔ Neu! Daniel erklärt dir in seinem Lernvideo nochmal alles zur Symmetrie bei Funktionen Symmetrie, Funktionen, rechnerischer Ablauf, Punktsymmetrie, Achsensymmetrie | Mathe by Daniel Jung AchsenabschnitteHier werden die Achsenabschnitte
\begin{align*} und wir erhalten mit $S_y(0/-16)$ den Schnittpunkt von Funktion und y-Achse. Hinweis: Passt auf bei Funktionen, bei denen 0 nicht im Definitionsbereich ist, denn dort dürfen wir 0 nicht
einsetzen, z.B. $f(x)=1/x$ oder $f(x)=\ln(x)$.
Daniel erklärt dir nochmal das Thema Achenschnittpunkte in seinem Lernvideo Achsenschnittpunkte/Achsenabschnitte bei Funktionen | Mathe by Daniel Jung Einschub Intervallschreibweise\begin{array}{l|l|c} Die Intervallschreibweise ist eine abkürzende Schreibweise und wird oft beim Definitions- und Wertebereich verwendet. Das Intervall gibt an, in welchem Bereich sich unser x befindet. Zum Beispiel können wir $2\leq x < 4$ abkürzend als [2;4) schreiben. Daniel erklärt dir alles rund um die Intervallschreibweise. Intervalle, Schreibweisen, Mengen, Bereiche, Klammern | Mathe by Daniel Jung DefinitionsbereichDie Bestimmung des Definitionsbereichs ist sehr
wichtig. Auch wenn oft in der Aufgabenstellung nicht explizit gefordert, Die 3 Warnschilder bei der Bestimmung des maximalen Definitionsbereiches:
Beachte: Der Definitionsbereich D kann sich beim Ableiten verändern! Beispiel zum DefinitionsbereichBestimme den maximalen Definitionsbereich der Funktion $f(x)= \frac{\sqrt{x^2}}{\ln(2-x)}$. Zufälligerweise kommen in der Funktion Logarithmus, Bruch und Wurzel vor! Alarmglocken gehen an. Alle drei Bedingungen von oben werden geprüft. \begin{align*} Wir wissen jetzt schon mal, dass unser x nicht 1 sein darf. Weiter geht es mit Prüfung der Wurzel! Der Radikand (die Zahl unter der Wurzel) darf nie kleiner als Null sein. \begin{align*} Egal was wir für $x$ einsetzen, durch das $x^2$ kommt immer eine Zahl raus, die größer oder gleich 0 ist. Wir dürfen also für $x$ alle Zahlen von – bis + Unendlich einsetzen. Abschließend folgt die Prüfung des Logarithmus. \begin{align*} 3. \quad \ln(\textrm{etwas}) \quad \textrm{verlangt} \quad \textrm{etwas} > 0 \ \Rightarrow 2-x &> 0 \quad |+x \\ Für den Definitionsbereich von $f(x)$ müssen alle Bedingungen, die geprüft wurden, erfüllt sein. Welche $x$-Werte erfüllen alle 3 Bedingungen? Am Einfachsten kann man sich das am Zahlenstrahl klar machen. Der maximale Definitionsbereich für die Funktion f(x) lautet demnach \begin{align*} Schau dir vertiefend zum Thema Definitionsbereich nochmal Daniels Lernvideo an. Definitionsbereich, Nachhilfe online, Hilfe in Mathe, einfach erklärt | Mathe by Daniel Jung WertebereichDer Wertebereich W ist die Menge von y-Werten, die du erhältst, wenn du jedes mögliche x in die Funktion $f(x)$ einsetzt. Anders gesagt: Alles, was für y rauskommen kann! Betrachten wir den Wertebereich des
folgenden Graphen: \begin{align*} Hierbei ist -8 der niedrigste y-Wert, der erreicht wird. Nach oben gibt es jedoch keine Begrenzung; es kann jeder positive y-Wert angenommen werden. Nach dem Wertebereich wird selten bis nie gefragt. Wichtig ist bei Anwendungsaufgaben den Blick für „Höhen“/“Tiefen“ zu haben! Schau dir zu dem Thema Werebereich das passende Video von Daniel an“ Wertebereich, Funktionen, Nachhilfe online, Hilfe in Mathe, einfach erklärt | Mathe by Daniel Jung Was ist wenn die erste Ableitung gleich Null ist?Ableitung gleich Null ist ( f ′ ( x 0 ) = 0 ), liegt eine waagrechte Tangente vor.
Kann eine Ableitung Null sein?Basiswissen. f''(x) = 0, also die zweite Ableitung von f(x) ist an einer Stelle null: dort kann der Graph einen Wendepunkt haben (auch Sattelpunkte sind Wendepunkte) oder aber linear verlaufen, also eine Gerade oder konstant sein.
Was wenn erste und zweite Ableitung gleich Null?Denn wenn die zweite Ableitung Null ist, befindet sich in der ersten Ableitung ein Extremum, was Nullstelle zur ersten Ableitung ist und somit würde sich die Steigung der Funktion nicht ändern und es würde sich deshalb nicht um einen Extrempunkt handeln.
Wann ist die Ableitung 0?Jeder x-Wert eines Extremums der Funktion ist eine Nullstelle der Ableitung.
Was bedeutet Ableitung 0?Ableitung einfach erklärt
Ableitung negativ f'(x) < 0 → Funktion fällt. Ableitung null f'(x) = 0 → Funktion hat einen Extrempunkt (Hochpunkt oder Tiefpunkt) oder einen Sattelpunkt.
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