Multiplikation von VektorenBei der Multiplikation von Vektoren unterscheidet man zwischen Show
Multiplikation eines Vektors mit einem SkalarUnter Skalarmultiplikation versteht man die Multiplikation eines Vektor \(\overrightarrow a \) mit einer reellen Zahl λ (Skalar). Der resultierende Vektor hat die λ-fache Länge des Ausgangsvektors. Für negative λ sind der Ausgangsvektor und der resultierende Vektor entgegengesetzt orientiert. \(\lambda \cdot \overrightarrow a = \left( \matrix{ \lambda \cdot {a_x} \hfill \cr \lambda \cdot {a_y} \hfill \cr} \right)\,\,\,\,\,{\rm{wobei}}\,\,\,\,\,\lambda \overrightarrow a \left\| {\overrightarrow a } \right.\) \(c \cdot \overrightarrow v = c \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {c \cdot {v_x}}\\ {c \cdot {v_y}}\\ {c \cdot {v_z}} \end{array}} \right)\) Strecke fStrecke f: Strecke [A, D] Strecke gStrecke g: Strecke [D, B] Strecke hStrecke h: Strecke [A, F] Strecke iStrecke i: Strecke [F, C] Vektor uVektor u: Vektor[A, B] Vektor uVektor u: Vektor[A, B] Vektor vVektor v: Vektor[A, C] Vektor vVektor v: Vektor[A, C] \overrightarrow atext1 = "\overrightarrow a" \overrightarrow atext1 = "\overrightarrow a" \overrightarrow A = \lambda.\overrightarrow atext3 = "\overrightarrow A = \lambda.\overrightarrow a" \overrightarrow A = \lambda.\overrightarrow atext3 = "\overrightarrow A = \lambda.\overrightarrow a" \overrightarrow A = \lambda.\overrightarrow atext3 = "\overrightarrow A = \lambda.\overrightarrow a" \overrightarrow A = \lambda.\overrightarrow atext3 = "\overrightarrow A = \lambda.\overrightarrow a" \overrightarrow A = \lambda.\overrightarrow atext3 = "\overrightarrow A = \lambda.\overrightarrow a" \overrightarrow A = \lambda.\overrightarrow atext3 = "\overrightarrow A = \lambda.\overrightarrow a" \overrightarrow A = \lambda.\overrightarrow atext3 = "\overrightarrow A = \lambda.\overrightarrow a" a_xtext4 = "a_x" a_xtext4 = "a_x" a_ytext5 = "a_y" a_ytext5 = "a_y" A_y = \lambda . a_ytext6 = "A_y = \lambda . a_y" A_y = \lambda . a_ytext6 = "A_y = \lambda . a_y" A_y = \lambda . a_ytext6 = "A_y = \lambda . a_y" A_y = \lambda . a_ytext6 = "A_y = \lambda . a_y" A_y = \lambda . a_ytext6 = "A_y = \lambda . a_y" A_y = \lambda . a_ytext6 = "A_y = \lambda . a_y" A_y = \lambda . a_ytext6 = "A_y = \lambda . a_y" A_x = \lambda . a_xtext7 = "A_x = \lambda . a_x" A_x = \lambda . a_xtext7 = "A_x = \lambda . a_x" A_x = \lambda . a_xtext7 = "A_x = \lambda . a_x" A_x = \lambda . a_xtext7 = "A_x = \lambda . a_x" A_x = \lambda . a_xtext7 = "A_x = \lambda . a_x" A_x = \lambda . a_xtext7 = "A_x = \lambda . a_x" A_x = \lambda . a_xtext7 = "A_x = \lambda . a_x" Rechenregeln im Zusammenhang mit der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar\(\eqalign{ & \lambda \cdot \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \lambda \cdot \overrightarrow a + \lambda \cdot \overrightarrow b \cr & \left( {\lambda + \mu } \right) \cdot \overrightarrow a = \lambda \cdot \overrightarrow a + \mu \cdot \overrightarrow a \cr & 0 \cdot \overrightarrow a = \overrightarrow 0 \cr}\) SkalarproduktDas Skalarprodukt bzw. das innere Produkt zweier Vektoren ordnet zwei Vektoren eine reelle Zahl zu und wird gebildet, in dem komponentenweise multipliziert wird, und anschließend die Summe der Produkte gebildet wird. Es findet Anwendung bei der Winkelberechnung zwischen 2 Vektoren und beim Orthogonalitätskriterium welches besagt, dass wenn zwei Vektoren senkrecht auf einander stehen, ihr Skalarprodukt gleich Null ist \( \eqalign{ & \overrightarrow a \circ \overrightarrow b = \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr } } \right) \cdot \left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr } } \right) = {a_x} \cdot {b_x} + {a_y} \cdot {b_y} = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \varphi \cr & \cos \varphi = {{\overrightarrow a \circ \overrightarrow b } \over {\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = {{{a_x} \cdot {b_x} + {a_y} \cdot {b_y}} \over {\sqrt {{a_x}^2 + {a_y}^2} .\sqrt {{b_x}^2 + {b_y}^2} }} \cr}\) Orthogonalitätskriterium2 Vektoren stehen im rechter Winkel zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ist \(\eqalign{ & \overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \circ \overrightarrow b = 0 \cr & {a_x}{b_x} + {a_y}{b_y} = 0 \cr}\) Achtung in \({{\Bbb R}^3}\):
Vektor uVektor u: Vektor[A, C] Vektor uVektor u: Vektor[A, C] Vektor wVektor w: Vektor[A, D] Vektor wVektor w: Vektor[A, D] Vektor fVektor f: Vektor[A, B] Vektor fVektor f: Vektor[A, B] Vektor gVektor g: Vektor[B, D] Vektor gVektor g: Vektor[B, D] Vektor hVektor h: Vektor[A, F] Vektor hVektor h: Vektor[A, F] Vektor iVektor i: Vektor[F, C] Vektor iVektor i: Vektor[F, C] \overrightarrow{b}text2 = "\overrightarrow{b}" \overrightarrow{b}text2 = "\overrightarrow{b}" \overrightarrow{a}text3 = "\overrightarrow{a}" \overrightarrow{a}text3 = "\overrightarrow{a}" a_xText1 = "a_x" a_xText1 = "a_x" a_yText2 = "a_y" a_yText2 = "a_y" b_xText3 = "b_x" b_xText3 = "b_x" b_yText4 = "b_y" b_yText4 = "b_y" AText5 = "A" BText6 = "B" Winkel zwischen 2 VektorenZwischen zwei Vektoren kann man zwei Winkel einzeichnen, einen innen- und einen außenliegenden Winkel. Wenn nichts Gegenteiliges gesagt wird, ist immer der Innenwinkel gemeint. Zur Berechnung des Winkels bestimmt man zunächst
Den Kosinus vom Winkel zwischen zwei Vektoren erhält man, indem man das Skalarprodukt der beiden Vektoren durch das Produkt der Beträge der beiden Vektoren dividiert. \(\varphi = \arccos \dfrac{{\overrightarrow a \circ \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}}\)mit\(\left| {\overrightarrow a } \right| \ne 0;\,\,\,\,\,\left| {\overrightarrow b } \right| \ne 0\) Sektor dSektor d: Kreissektor[G, H, I] Sektor dSektor d: Kreissektor[G, H, I] Sektor cSektor c: Kreissektor[G, J, K] Sektor cSektor c: Kreissektor[G, J, K] Vektor uVektor u: Vektor[A, B] Vektor uVektor u: Vektor[A, B] Vektor vVektor v: Vektor[A, C] Vektor vVektor v: Vektor[A, C] \alphatext1 = "\alpha" \overrightarrow atext2 = "\overrightarrow a" \overrightarrow atext2 = "\overrightarrow a" \overrightarrow btext3 = "\overrightarrow b" \overrightarrow btext3 = "\overrightarrow b" 360°-αText1 = "360°-α" Rechenregeln im Zusammenhang mit dem SkalarproduktKommutativgesetz Distributivgesetz gemischtes Assoziativgesetz, wobei k ein Skalar ist Quadrat eines Vektors bzw. Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbstBetrachten wir den Spezialfall dass \(\overrightarrow b = \overrightarrow a \) , dann gilt: Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst bzw. das Quadrat eines Vektors ist gleich dem Quadrat des Betrags vom Vektor. Wir können das wie folgt zeigen: KreuzproduktFür das Kreuzprodukt sind auch die Bezeichnungen vektorielles Produkt bzw. äußeres Produkt üblich Das vektorielle Produkt zweier Vektoren ist ein (dritter) Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht. (Rechtssystem). \(\eqalign{ & \overrightarrow c = \overrightarrow a \times \overrightarrow b = \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right)\times\left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr {{b_z}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{a_y} \cdot {b_z} - {a_z} \cdot {b_y}} \cr {{a_z} \cdot {b_x} - {a_x} \cdot {b_z}} \cr {{a_x} \cdot {b_y} - {a_y} \cdot {b_x}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{c_x}} \cr {{c_y}} \cr {{c_z}} \cr } } \right) \cr & \left| {\overrightarrow c } \right| = \left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|.\sin \varphi ; \cr}\) \(\eqalign{ & {\text{mit }}\varphi = \sphericalangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) & }\) \(\eqalign{ & \overrightarrow a \times \overrightarrow b \bot \overrightarrow a \cr & \overrightarrow a \times \overrightarrow b \bot \overrightarrow b \cr} \) Die Bildungsvorschrift für den doch etwas komplizierten Klammerausdruck lautet wie folgt: Schreibe die Komponenten der beiden Vektoren an und füge die beiden oberen Zeilen unten noch einmal an Fange in der 1. Spalte in der 2. Zeile an und rechne: "(links oben mal rechts unten) minus (links unten mal rechts oben) Wiederhole das Ganze in der 1. Spalten in der 3. Zeile Wiederhole das Ganze in der 1. Spalten in der 4. Zeile \(\begin{array}{*{20}{l}} {{a_x}}&{{b_x}}&{}&{{a_y} \cdot {b_z}}&{ - {a_z} \cdot {b_y}}\\ {{a_y}}&{{b_y}}&{}&{{a_z} \cdot {b_x}}&{ - {a_x} \cdot {b_z}}\\ {{a_z}}&{{b_z}}& \Rightarrow &{{a_x} \cdot {b_y}}&{ - {a_y} \cdot {b_x}}\\ {{a_x}}&{{b_x}}&{}&{}&{}\\ {{a_y}}&{{b_y}}&{}&{}&{} \end{array}\) Betrag vom Kreuzprodukt entspricht der Fläche vom ParallelogrammDer Betrag des Vektors entspricht der Maßzahl der Fläche, des durch die beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms. \({\rm{A = l}} \cdot {\rm{b = }}\left| {\left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right)} \right| = {\rm{Skalar}}\) Illustration vom KreuzproduktBogen cBogen c: Kreisbogen(F, G, H) Bogen dBogen d: Kreisbogen(I, J, K) Sektor eSektor e: Kreissektor(A, H, K) Strecke fStrecke f: Strecke C, E Strecke gStrecke g: Strecke D, E Vektor uVektor u: Vektor(A, B) Vektor uVektor u: Vektor(A, B) Vektor vVektor v: Vektor(A, D) Vektor vVektor v: Vektor(A, D) Vektor wVektor w: Vektor(A, C) Vektor wVektor w: Vektor(A, C) Punkt LL = (6.42, 6.24) Punkt LL = (6.42, 6.24) Punkt MM = (6.39, 7.33) Punkt MM = (6.39, 7.33) \overrightarrow atext1 = “\overrightarrow a” \overrightarrow atext1 = “\overrightarrow a” \overrightarrow btext2 = “\overrightarrow b” \overrightarrow btext2 = “\overrightarrow b” \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}text3 = “\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}” \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}text3 = “\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}” \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}text3 = “\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}” \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}text3 = “\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}” \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}text3 = “\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}” φtext4 = “φ” A=| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} |text5 = “A=| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} |” A=| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} |text5 = “A=| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} |” A=| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} |text5 = “A=| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} |” A=| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} |text5 = “A=| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} |” A=| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} |text5 = “A=| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} |” A=| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} |text5 = “A=| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} |” A=| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} |text5 = “A=| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} |” A=| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} |text5 = “A=| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} |” A=| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} |text5 = “A=| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} |” ParallelitätskriteriumZwei Vektoren sind dann zueinander parallel, wenn der Betrag von dem Vektor, der sich aus dem Kreuzprodukt ergibt, Null ist Zwei Vektoren sind dann zu einander parallel, wenn ein Vektor ein Vielfaches vom anderen Vektor ist. \(\overrightarrow a \left\| {\overrightarrow b } \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow b = \lambda .\overrightarrow a \Leftrightarrow \left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {\lambda .{a_x}} \cr {\lambda .{a_y}} \cr } } \right)\) Rechenregeln im Zusammenhang mit dem KreuzproduktDas Kommutativgesetz gilt nicht für das Kreuzprodukt, sondern es besteht folgender Zusammenhang \(\overrightarrow a \times \overrightarrow b = - \left( {\overrightarrow b \times \overrightarrow a } \right)\) Das Distributivgesetz gilt für das Kreuzprodukt \(\eqalign{ & \overrightarrow a \times \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a \times \overrightarrow b + \overrightarrow a \times \overrightarrow c \cr & \left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) \times \overrightarrow c = \overrightarrow a \times \overrightarrow c + \overrightarrow b \times \overrightarrow c \cr} \) Darüber hinaus gelten folgende Zusammenhänge \(\eqalign{ & \overrightarrow a \times \overrightarrow a = 0 \cr & \left( {\lambda \overrightarrow a } \right) \times \overrightarrow b = \lambda \left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) \cr} \) Das SpatproduktBeim Spatprodukt, auch gemischtes Produkt genannt, wird zuerst von zwei Vektoren das Kreuzprodukt und vom so resultierenden Vektor zusammen mit einem dritten Vektor das Skalarprodukt berechnet. Es dient dazu das Volumen eines von drei Vektoren aufgespannten Körpers zu berechnen. Solch einen Körper nennt man Parallelepiped oder Spat. Die Bezeichnung Spat ist uns aus der Mineralogie (Feldspat) vertraut. Das Spatprodukt dreier Vektoren liefert als Resultat ein Skalar. \(V = l \cdot b \cdot h = A \cdot h = \left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) \circ \overrightarrow c = \overrightarrow d \circ \overrightarrow c = {\rm{Skalar}}\) Ist Kreuzprodukt und Vektorprodukt das gleiche?Das Vektorprodukt ist die Verknüpfung zweier Vektoren, dessen Ergebnis wieder ein Vektor ist, der senkrecht auf den beiden Vektoren steht. Häufig wird das Vektorprodukt auch mit "Kreuzprodukt" bezeichnet.
Was ist wenn das Kreuzprodukt Null ist?Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren 0 ergibt, bedeutet dies, dass die Vektoren orthogonal, also senkrecht, zueinander sind.
Was bedeutet das Kreuzprodukt von zwei Vektoren?Das Kreuzprodukt oder Vektorprodukt zweier Vektoren ist als Ergebnis der Multiplikation wieder ein Vektor.
Ist das Kreuzprodukt assoziativ?Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ, ã ⇥ (~b ⇥c) 6= (ã ⇥~b) ⇥c . i.a. also nicht identisch sein. Beweis: Die Multiplikation eines Vektors mit einer Konstanten ändert nichts an seiner Richtung.
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