Zweite Ableitungf''(x)Basiswissenf(x)=2x³ einmal abgeleitet gibt f'(x)=6x². Das noch einmal abgeleitet gibt f''(x)=12x. Das ist die zweite Ableitung f''(x) der ursprünglichen Funktion. Die zweite Ableitung hilft zu entscheiden, wo der Graph von f(x) links- und wo er rechtsgekrümmt ist. Zudem hilft so zu entscheiden, welche Art von Extrempunkt vorliegt. Beide Themen sind hier näher erklärt. Eine wichtiger Unterschied: Wert oder Funktion?Das Wort Ableitung wird in zwei ähnlichen aber leicht unterschiedlichen Bedeutungen verwendet. Für f(x)=x² ist f'(x)=2x die sogenannte Ableitungsfunktion. Und f'(4)=8 ist der sogenannte Ableitungswert, auch Steigung genannt, an der Stelle x=4. Beides, die Ableitungsfunktion wie auch den Ableitungswert an einer Stelle nennt man kurz oft Ableitung. In diesem Artikel steht Ableitung für die Ableitungsfunktionen f'(x) und f''(x). Siehe mehr dazu unter => Ableitungsfunktion Definition◦ Man hat eine Funktion f(x) gegeben, zum Beispiel: f(x) = 10x³ ◦ Man kann diese Funktion ableiten zu f'(x) =20x² ◦ Man kann f'(x) selbst ableiten zu f''(x) = 40x ◦ Das ist die zweite Ableitung. ◦ Siehe auch => ableiten Sprechweisen◦ Erste Ableitung = f'(x), sprich: f-Strich-von-x ◦ Zweite Ableitung = f''(x), sprich: f-zwei-Strich-von-x Die zweite Ableitung im Vergleich mit der ersten Ableitung◦ Die erste Ableitung f'(x) sagt etwas über die Steigung der ursprünglichen Funktion f(x). ◦ Die zweite Ableitung f''(x) sagt etwas über die Krümmung der ursprünglichen Funktion f(x). ◦ Dort wo die zweite Ableitung negative Werte hat ist die ursprüngliche Funktion => rechtsgekrümmt ◦ Wo die zweite Ableitung positive Werte hat ist sie => linksgekrümmt ◦ Wo die zweite Ableitung den Wert 0 hat, kann die ursprüngliche Funktion einen Wende- oder Sattelpunkt haben oder linear (gerade) verlaufen. Die zweite Ableitung und die Richtung der Krümmung◦ Wo der Graph von f(x) eher talförmige Formen hat (wie ein u) ist er linksgekrümmt. ◦ Wo der Graph von f(x) eher bergförmig ist, ist er rechtsgekrümmt. ◦ Setzt man einen x-Wert in f''(x) ein, erhält man Informationen zur Krümmung an dieser Stelle: ◦ f''(x) < 0 => Rechtskrümmung ◦ f''(x) > 0 => Linkskrümmung ◦ f''(x) = 0 => Keine Krümmung Die zweite Ableitung und die Stärke der Krümmung◦ Die zweite Ableitung sagt nichts über die Stärke der Krümmung. ◦ Die Stärke der Krümmung beschreibt das => Krümmungsmaß Die zweite Ableitung und Extrempunkte◦ Setzt man den x-Wert von einem Extrempunkt in die zweite Ableitung ein, erhält man weitere Informationen zu dem Extrempunkt. ◦ Da ein Tiefpunkt immer im Bereich eine Linkskrümmung liegt gilt: zweite Ableitung größer 0 => Tiefpunkt ◦ Da ein Hochpunkt immer im Bereich eine Rechtskrümmung liegt gilt: zweite Ableitung kleiner 0 => Hochpunkt Berechnung der zweiten Ableitung◦ Die erste Ableitung f'(x) abgeleitet gibt die zweite Ableitung. ◦ f'(x) = 2x-1 abgeleitet gibt z. B. f''(x) = 2 ◦ f''(x) nennt man auch die zweite => Ableitungsfunktion ◦ Setzt man dort einen x-Wert ein, erhält man den Wert der zweiten Ableitung. ◦ Mehr zur Berechnung unter => zweite Ableitung bilden Rechenbeispiel◦ f(x) = 2x³ ◦ f'(x) = 6x² ◦ f''(x) = 12x ◦ An der Stelle x=0 erhält man f''(0) = 0. Dort ist ein Wendepunkt möglich. ◦ An der Stelle x=2 erhält man f''(2) = 24. Dort ist der Graph also linkgekrümmt. ◦ An der Stelle x=-2 erhält man f''(-2) = -24. Dort ist der Graph als rechtsgekrümmt. ◦ Setzt man weitere x-Werte ein, erhält man weitere Informationen über die Krümmung. Zusammenfassung◦ Zweite Ableitung ist kleiner Null ⭢ f(x) ist rechtsgekrümmt ◦ Zweite Ableitung ist größer Null ⭢ f(x) ist linkgekrümmt ◦ Zweite Ableitung ist genau Null ⭢ möglicher Wende/Sattelpunkt (weder links- noch rechtsgekrümmt) ◦ Erste Ableitung war Null, zweite ist negativ: Hochpunkt ◦ Erste Ableitung war Null, zweite ist positiv: Tiefpunkt ◦ Erste Ableitung war Null, zweite ist auch null: möglicher Sattelpunkt ◦ Erste Ableitung war Null, zweite auch, dritte nicht: Sattelpunkt ◦ Erste Ableitung war Null, zweite auch, dritte auch: Geradengleichung ◦ Erste Ableigung ungleich Null, zweite Null, dritte nicht: Wendepunkt  Show
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Ableitung zweier funktionen gleich
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