Was haben eine Brücke, ein Tunnel, ein Regenbogen und ein Hügel gemeinsam? Show
Die Antwort lautet: Alle vier haben die Form einer Parabel. Eine Parabel entsteht durch eine quadratische Funktion. Doch was versteht man unter einer quadratischen Funktion? Die Funktionsgleichung einer quadratischen FunktionEine quadratische Funktion ist ein Sonderfall einer Potenzfunktion. Quadratische Funktionen haben immer ein Polynom zweiten Grades, enthalten also immer ein in der Funktion. Sie haben jedoch keine höheren Potenzen, wie sie zum Beispiel , enthalten. Eine quadratische Funktion mit den reellen Koeffizienten a, b und c ist eine Funktion der Form: Der Koeffizient a ist eine reelle Zahl. Dabei ist es wichtig, dass diese Zahl nicht 0 ist. Im Gegensatz dazu können die Koeffizienten b und c alle reellen Zahlen annehmen – auch die 0. wird als quadratisches Glied bezeichnet, als lineares Glied und als absolutes Glied. Mehr zu diesem Thema findest Du im Artikel "Quadratische Gleichungen". Darstellungsformen der quadratischen FunktionEs gibt verschiedenen Darstellungsformen einer quadratischen Gleichung. Eine hast Du eben schon kennengelernt: die allgemeine Form. Es gibt aber auch noch die Scheitelpunktform und die faktorisierte Form.
Gerade ging es jetzt schon um die Scheitelpunktform und den Scheitelpunkt. Aber was ist das eigentlich? Der höchste Punkt einer nach unten offenen, beziehungsweise der tiefste Punkt einer nach oben offenen Parabel wird als Scheitel oder Scheitelpunkt bezeichnet. Er hat folgende Form: Die verschiedenen Darstellungsweisen einer quadratischen Funktion können durch verschiedenen mathematische Verfahren ineinander umgerechnet werden.
Die Scheitelpunktform und die faktorisierte Form lassen sich jeweils in die allgemeine Form und umgekehrt umwandeln. Um die Scheitelpunktform in die faktorisierte Form und umgekehrt umzuwandeln, kannst Du den Zwischenschritt über die allgemeine Form einbauen oder über die Achsensymmetrie der Nullstellen den Scheitelpunkt bestimmen und so die Scheitelpunktform erhalten. Abbildung 1: Umrechnungen Allgemeine Form und Scheitelform Abbildung 2: Umrechnungen Allgemeine Form und Faktorisierte Form Mehr zur Umwandlung von Scheitelpunktform zur allgemeinen Form und umgekehrt findest Du im Artikel "Scheitelpunkt berechnen". Funktionen verändern – BeispielIm folgenden Beispiel lernst Du, wie Du die faktorisierte Form in die allgemeine Form und umgekehrt umwandeln kannst. Aufgabe 1 Wandle die Funktion in die allgemeine Funktion um und dann wieder zurück in die faktorisierte Form. Lösung faktorisierte Form → allgemeine Form Hier kannst Du direkt sehen, dass die Klammern noch ausmultipliziert werden können. Du musst also jede Zahl der einen Klammer mit jeder Zahl der anderen Klammer multiplizieren. allgemeine Form → faktorisierte Form Hier musst Du als Erstes die Nullstellen der allgemeinen Form mit der Mitternachtsformel berechnen. Die Nullstellen betragen also . Diese kannst Du jetzt in die faktorisierte Form einsetzen. Hier musst Du aufpassen, weil Du für die Zahl -2 einsetzt. Da aber schon ein Minus in der faktorisierten Form enthalten ist, musst Du beachten, dass Minus und Minus Plus ergibt. Berechnen der Nullstellen einer quadratischen FunktionUm die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu berechnen, gibt es vier verschiedenen Möglichkeiten. Eine davon hast Du eben verwendet. Insgesamt kann eine quadratische Funktion entweder 0, 1 oder 2 Nullstellen besitzen.
Wie die Berechnungsverfahren genau funktionieren, erfährst Du in den jeweiligen Artikeln. Der Graph einer quadratischen FunktionBis jetzt hast Du viel über die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion gelernt, aber wie sieht es mit dem Graphen einer quadratischen Funktion aus? Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Diese Parabel kann entweder nach unten oder nach oben geöffnet sein. Der höchste Punkt einer nach unten offenen bzw. der tiefste Punkt einer nach oben offenen Parabel wird Scheitel oder auch Scheitelpunkt genannt. Eine Parabel kann zum Beispiel so aussehen:
Parabeln dienen jedoch nicht nur zur Visualisierung von quadratischen Funktionen. Du kannst verschiedene charakteristische Parameter, wie den Scheitelpunkt oder den Schnittpunkt einer Parabel mit einer Geraden auch berechnen. Außerdem kannst Du beispielsweise auch eine Tangente an einer Parabel konstruieren. Darüber hinaus gibt es noch weiere verschiedene Möglichkeiten, mit Parabeln zu rechnen. Wie Du die eben genannten Punkte berechnen kannst, findest Du in den zugehörigen Artikeln. Die NormalparabelUm zu wissen, wie der Graph einer quadratischen Funktion verläuft, ist es wichtig den Verlauf der sogenannten Normalparabel zu kennen. Von ihr ausgehend, kannst Du andere Parabeln dann beschreiben. Der zur Funktion gehörende Graph heißt Normalparabel. Eine Normalparabel sieht folgendermaßen aus:
Eine Normalparabel hat folgende Eigenschaften: Veränderung der ParabelDie Parameter a, b und c haben einen Einfluss auf die Form und Lage einer Normalparabel. Die Veränderungen der Parabel werden immer anhand der Normalparabel verglichen und ausgedrückt.
Richtung der Öffnung, Strecken und Stauchen von ParabelnDer Parameter a einer quadratischen Funktion gibt an, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. Des Weiteren ist er für die Streckung oder Stauchung zuständig.
Zur Erinnerung! Die Formel für die allgemeine quadratische Funktion lautet: .
Spiegelung von ParabelnDie Normalparabel, mit der Funktionsgleichung , ist hier die Ausgangsgleichung.
Verschiebung von ParabelnUm eine Funktion an der x-Achse zu verschieben, gilt Folgendes: Um eine Funktion entlang der y-Achse zu verschieben, gilt Folgendes:
Genauere Erklärungen sowie Beispiele, findest Du im Artikel "Quadratische Funktion verändern". Zeichnen einer ParabelUm eine Parabel zu zeichnen, reicht es nicht, wie bei linearen Funktionen, die Werte aus der Funktionsgleichung abzulesen. Die Funktionen können Dir bei ein paar Punkten helfen, Du kannst jedoch keine gesamte Parabel damit zeichnen. Im Folgenden wird das Vorgehen beim Zeichnen einer Parabel anhand eines Beispiels erklärt. Aufgabe 2 Zeichne die Parabel f zu folgender Funktionsgleichung . Lösung 1. Schritt Als Erstes kannst Du, wie gerade erwähnt, alle Werte aufschreiben, die Du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. In diesem Fall sind das die Nullstellen und . 2. Schritt Als Nächstes musst Du, wenn Du ihn nicht schon ablesen konntest, den Scheitelpunkt berechnen. Da das hier zu weit führen würde, ist hier der Scheitelpunkt S der gefragten Funktionsgleichung gegeben. 3. Schritt Danach kannst Du eine Wertetabelle anlegen. Wenn Du schon einen Taschenrechner hast, dann kannst Du sehr viele Werte ausrechnen. Dein Taschenrechner kann eine Wertetabelle erstellen, die von einem von Dir definierten Wert a bis zu einem ebenfalls von Dir definierten Wert b geht. Auch die Größe der Schritte, also die Abstände, in denen x-Werte eingesetzt und berechnet werden, kannst Du Dir so berechnen lassen. Rechnest Du per Hand, dauert das deutlich länger und Du musst Dir besser überlegen, welche Werte Du berechnest. Es reicht jedoch immer, wenn Du nur Werte auf einer Seite des Scheitelpunkts berechnest, da eine Parabel ja immer achsensymmetrisch zu ihrem Scheitelpunkt S ist. Für dieses Beispiel kann eine Wertetabelle beispielsweise so aussehen:
4. Schritt Zum Schluss kannst Du dann noch die Punkte, die Du mit der Wertetabelle berechnet hast, in Dein Koordinatensystem eintragen und diese verbinden.
Quadratische Funktionen – Das Wichtigste
Wie kann man eine quadratische Funktion beschreiben?Quadratische Funktionen besitzen eine Spiegelachse. Sie verläuft parallel zur y-Achse durch den Scheitelpunkt. Quadratische Funktionen besitzen entweder keine, eine oder zwei Nullstellen.
Wie zeichnet man einen Graphen anhand einer Funktion?Graphen linearer Funktionen zeichnen. Schritt: Lies in der Funktionsgleichung b ab und trage den Punkt S(0∣b) in das Koordinatensystem ein. ... . Schritt: Stelle die Steigung m als Bruch dar. ... . Schritt: Gehe von dem markierten Punkt nach rechts und nach oben oder unten. ... . Schritt: Lege durch beide Punkte eine Gerade.. Wie liest man eine quadratische Funktion ab?Ist der Graph einer quadratischen Funktion (= Parabel) gegeben, kann man die Funktionsgleichung auf folgende Arten bestimmen: Drei beliebige Punkte ablesen, danach Verfahren 1 (Lineares Gleichungssystem) anwenden. Scheitelpunkt und einen weiteren Punkt ablesen, danach Verfahren 2 (Scheitelpunktform) anwenden.
Wie sieht eine Funktion 2 Grades aus?Die allgemeine Form quadratischer Funktionen als ganzrationale Funktionen 2. Grades ist f(x)=ax2+bx+c.
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Wie sieht der Graph einer quadratischen Funktion aus?
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