Geschrieben von: Dennis Rudolph Show
Was ein Hochpunkt oder Tiefpunkt ist und wie man diese berechnet, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:
Tipp: Für die Berechnung von Hochpunkte und Tiefpunkt werden verschiedenen Regeln der Ableitung benötigt. Insbesondere die Potenzregel ist interessant, jedoch auch weitere Ableitungsregeln. Hochpunkt und Tiefpunkt ErklärungNicht nur im echten Leben gibt es Hochpunkten und Tiefpunkten, sondern auch in der Mathematik. In der nächsten Grafik seht ihr zwei Stellen mit einem Maximum und zwei Stellen mit einem Minimum.  Einen Unterschied gibt es zwischen den beiden Hochpunkten (Maxima) und Tiefpunkten (Minima) dennoch. Die beiden Hochpunkte und Tiefpunkte sind verschieden hoch oder tief. Ist ein Punkt wirklich der höchste Punkt ist es der absolute Hochpunkt und die anderen Hochpunkte bezeichnet man als relative Hochpunkte, da sie nur das Maximum in einem bestimmten Bereich darstellen. Der allertiefste Punkt (Minimum) ist der absolute Tiefpunkt und die anderen sind relative Tiefpunkte. Sowohl Hochpunkte als auch Tiefpunkte bezeichnet man als Extrempunkte. Wie findet man diese Hoch- und Tiefpunkte? Eine Möglichkeit besteht darin die Funktion zu zeichnen, sich den Verlauf anzusehen und den Punkt einfach abzulesen. Dies hat jedoch den Nachteil, dass man unter Umständen eine sehr aufwendige Funktion zeichnen muss und wenn der Hochpunkt oder Tiefpunkt nicht exakt bei x = 2 liegt sondern bei x = 2,3091 kann man diesen nicht präzise ablesen. Rechnerisch gibt es zwei Möglichkeiten:
In den meisten Fällen ist das Vorzeichenwechselkiterium deutlich schwieriger umzusetzen. Wer dieses Verfahren lernen möchte schaut in den Link von eben rein. Im nächsten Abschnitt verwenden wie die zweite Ableitung um Hochpunkt oder Tiefpunkt einer Funktion zu bestimmen. Anzeige: Beispiel Hochpunkt / Tiefpunkt berechnenSehen wir uns einmal an wie man Hochpunkt und Tiefpunkt berechnet. Da viele Schüler und Schülerinnen bei Zwischenschritten scheitern, soll dies hier einmal sehr ausführlich dargestellt werden. Beispiel 1: Hochpunkt / Tiefpunkt berechnen Wo liegen Hochpunkt und Tiefpunkt bei der nächsten Funktion? Lösung: Im ersten Schritt nutzen wir die Potenzregel um die erste Ableitung zu bilden. Die erste Ableitung vereinfachen wir noch. Wir kennen jetzt die erste Ableitung der Funktion. Im zweiten Schritt setzen diese Gleichung gleich Null. Wir erhalten eine quadratische Gleichung, welche wir mit der PQ-Formel lösen. Dazu lesen wir p = 3 und q = 2 ab und setzen dies in die allgemeine Lösungsformel ein. Im Anschluss berechnen wir x1 = -1 und x2 = -2. Bei x1 = -1 und x2 = -2 liegen die Punkte, welche wir nun näher untersuchen möchten. Um dies zu tun bilden wir im nächsten Schritt die zweite Ableitung der Funktion. Dabei verwenden wir erneut die Potenzregel. Um herauszufinden, ob es sich bei x1 = -1 und x2 = -2 um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt, setzen wir diese beiden x-Werte in f''(x) ein. Ist das Ergebnis größer als Null ist der Punkt ein Tiefpunkt. Ist das Ergebnis kleiner als Null liegt ein Hochpunkt vor. Die Berechnung zeigt, dass bei x1 = -1 ein Tiefpunkt vorliegt und bei x2 = -2 ein Hochpunkt. Wir kennen damit die x-Werte dieser Extrempunkte. Jetzt berechnen wir noch deren y-Werte. Dazu setzen wir x = -1 und x = -2 in die Ausgangsfunktion ein. Der Tiefpunkt liegt bei x = -1 und y = - 5 : 3. Den Hochpunkt berechnen wir gleich noch zu x = -2 und y = - 4 : 3. Aufgaben / Übungen Hoch- und TiefpunkteAnzeigen: Video Hochpunkt und TiefpunktExtrempunkte berechnenIm nächsten Video geht es um Extremstellen:
Nächstes Video » Fragen mit Antworten Hochpunkt / Tiefpunkt berechnenIn diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zu Hoch- und Tiefpunkten an. F: Wie geht man vor wenn man Tiefpunkte und Hochpunkte finden möchte? A: Die Vorgehensweise um Extrempunkte zu berechnen ist diese:
F: Welche Ableitungsregeln und Ableitungsthemen sollte ich kennen? A: Die folgenden Themen werden in der Schule zu Ableitungen behandelt.
Kann ein Wendepunkt ein Tiefpunkt sein?Tiefpunkt der Differentialrechnung. Die hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt lautet: f''(x0) = 0. f'''(x0 ) ≠ 0.
Welche Ableitung bei Wendepunkt?Du weißt bereits, dass es eine hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ist, wenn die dritte Ableitung ungleich Null ist.
Kann eine Extremstelle auch ein Wendepunkt sein?als „Steigung ihrer Steigung“, lassen sich ihre Wendestellen auch als [lokale] Extremstellen, das heißt [lokale] Maxima oder Minima, ihrer Steigung interpretieren.
Wie findet man heraus ob es ein Hoch oder Tiefpunkt ist?Willst du testen, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt, brauchst du die zweite Ableitung f''(x). In die setzt du die Nullstelle xs der ersten Ableitung ein: Ist f''(xs) < 0, dann handelt es sich um einen Hochpunkt. Ist f''(xs) > 0, dann hast du einen Tiefpunkt.
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Ableitung der funktion wo tiefpunkt gleich wendepunkt ist
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