Zweite ableitung gleich 0

(Polynomfunktionen)

Mithilfe der Differentialrechnung können wir Funktionsgraphen untersuchen: Wo ist die Funktion steigend bzw. fallend, wo gibt es besondere Punkte wie Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte?

Vorbemerkung 1:
Wenn wir den Funktionswert zu einem gegebenen x suchen, müssen wir x in die ursprüngliche Funktion einsetzen.
Wenn wir die Steigung an einer gegebenen Stelle suchen, müssen wir x in die 1. Ableitung einsetzen.

Vorbemerkung 2 (für Profis):
f(x) soll im Folgenden immer eine zweimal stetig differenzierbare Funktion sein.

Die Bedeutung der 1. Ableitung

Die 1. Ableitung gibt die Änderung des Funktionswertes an, d.h. die Steigung des Funktionsgraphen an einer bestimmten Stelle.

Die Bedeutung der 2. Ableitung

Die 2. Ableitung gibt die Änderung der Steigung an. Sie gibt also Auskunft über die Krümmung des Graphen.

Besondere Punkte des Graphen

Aus diesen Überlegungen empfiehlt sich folgendes Vorgehen bei Kurvendiskussionen:

Symmetrieeigenschaften

Lernziele:

• Ich kann die Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte einer Polynomfunktion berechnen.
• Ich kann den Graphen einer Polynomfunktion und seine besonderen Punkte zeichnen.
• Ich kann die Gleichung der Tangente an einen beliebigen Punkt des Graphen bestimmen.
• Ich kann anhand der Funktionsgleichung feststellen, ob der Graph symmetrisch ist.

Musterbeispiel

Übungen

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Hallo, in diesem Video geht es darum, was die 2. Ableitung einer Funktion ist, um die Wendepunkte des Graphen und um die Krümmung des Graphen. Bisher haben wir schon gelernt, was zu einer Funktion die Ableitung ist. Die haben wir mit f'(x) bezeichnet und wir haben gesehen, dass das selber auch wieder eine Funktion ist. Und da das eine Funktion ist, können wir die ja auch wieder ableiten. Das wäre dann sozusagen (f')'(x), aber so umständlich schreibt man das nicht. Man schreibt f''(x). Hier wäre das 6x-14. Und so kann man das immer weiterführen und gleich die 3. Ableitung ausrechnen und die 4. und die 5. und so weiter. Hier wäre ab der 4. Ableitung jede Ableitung schon 0. f ist also die Funktion und f' ist die Steigung der Funktion. Dann muss also f'' die Steigung der Steigung sein. Und was sagt einem das jetzt? Erinnern wir uns mal daran, dass wenn man die 1. Ableitung 0 setzt, die Maxima und Minima der Funktion rausbekommt. Jetzt geht man einfach einen Schritt höher. Dann müsste man also, wenn man die 2. Ableitung 0 setzt, die Maxima und Minima der Ableitung rauskriegen. Ok, und wie sehen die aus? Sagen wir mal, dass der Graph der Funktion so aussieht und jetzt laufen wir einmal an dem Graph entlang und beobachten überall die Steigung. Am Anfang ist die Steigung negativ, dann wird sie ein bisschen größer, also ein bisschen weniger negativ, wird immer noch größer, irgendwann ist sie 0, aber sie wächst noch weiter, die Steigung ist positiv, wird immer größer und wenn ich hier über diese Stelle drüber weggehe, würde sie wieder kleiner werden. Also gehe ich zurück und ziehe da die Tangente und da ist für einen Moment an der Stelle die Steigung am größten. Da haben wir ein Maximum der Steigung. So, jetzt geht's weiter. Da war also das Maximum, die Steigung wird also wieder kleiner, kleiner, hier ist sie wieder 0, dann wird sie wieder negativ, wird immer noch kleiner und wenn ich aber über diese Stelle hinweggehe, wird sie wieder ein bisschen größer. Das heißt, ich gehe ein Stück zurück, ziehe die Tangente wieder und an der Stelle haben wir also ein Minimum der Steigung. Danach wird die Steigung zwar wieder größer, aber sie bleibt immer negativ. Diese Punkte heißen Wendepunkte. Das sind Punkte, bei denen sich die Krümmung des Graphen der Funktion ändert. Hier geht die Krümmung nach links, ab da geht sie nach rechts und ab da wieder nach links. Wenn die 2. Ableitung < 0 ist, heißt das, die Steigung wird kleiner, das ist in diesem Abschnitt der Kurve der Fall, das heißt, da liegt eine Rechtskrümmung vor. Ist die 2. Ableitung > 0, wird die Steigung größer, das ist in diesem Abschnitt der Fall, dann haben wir also eine Linkskrümmung. Und f''(x)=0 gilt genau an den Wendepunkten, da wo sich die Krümmung ändert. Die 2. Ableitung einer Funktion beschreibt also genau deren Krümmungsverhalten. Wenn es in der Physik um Bewegungen geht, dann steht x meistens für die Zeit und f(x) für den Weg. f'(x) ist dann die Wegänderung, also die Geschwindigkeit, und f''(x) ist die Geschwindigkeitsänderung, also die Beschleunigung. So kann man sich die 2. Ableitung sehr gut vorstellen, als Beschleunigung einer Bewegung. Ist die 2. Ableitung < 0, heißt das, die 1. Ableitung nimmt ab. Die Geschwindigkeit nimmt also ab, das heißt, es wird gebremst. Negative Beschleunigung bedeutet also bremsen. Ist die 2. Ableitung > 0, nimmt die 1. Ableitung zu, das heißt, die Geschwindigkeit wird größer, das bedeutet also beschleunigen. Ist die 2. Ableitung = 0, heißt das, es gibt keine Beschleunigung. Das heißt, dass die Geschwindigkeit gleich bleibt, die ist also konstant. Und das passt auch dazu, dass die Ableitung von konstanten Funktionen = 0 ist. Zum Abschluss wollen wir dann wirklich mal die Wendepunkte einer Funktion bestimmen. Als 1. schreiben wir uns die ersten 3 Ableitungen auf. Es gilt nämlich: xw ist eine Wendestelle, wenn die 2. Ableitung an der Stelle xw = 0 ist und die 3. Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 ist. Wir setzen also die 2. Ableitung = 0, formen das um und erhalten x=-2. Die -2 setzen wir in die 3. Ableitung ein, die ist sowieso immer 6, also > 0, also ist es tatsächlich eine Wendestelle. Und um die andere Koordinate des Wendepunktes zu erhalten, setzen wir -2 in die Ursprungsfunktion ein. Da kommt 12 raus. Der Wendepunkt hat also die Koordinaten (-2/12). Und damit sind wir mit dem Video über die 2. Ableitung fertig. Tschüss.

Was ist wenn die zweite Ableitung gleich Null ist?

Warum darf zweite Ableitung nicht Null sein?

Was sagt die 2 Ableitung aus?

Was bedeutet Ableitung 0?