Brüche zu addieren gehört zu den Grundlagen der Bruchrechnung. Ich zeige dir mit Beispielen wie du gleichnamige und ungleichnamige Brüche addieren kannst. Du lernst wichtige Regeln für die Addition und Subtraktion von 2 oder 3 Brüchen. Dabei geht es auch um die Addition von ganzen Zahlen und gemischten Brüchen. Die Inhalte liegen als Text und als Video vor.
Brüche helfen dabei Teile von etwas Ganzem darstellen zu können. Zum Beispiel 3 von 7 Teilen.
Beim Addieren von Brüchen werden mehrere Teile zusammengefügt. Um mit Brüchen rechnen zu können, solltest du drei wichtige Begriffe kennen: Zähler, Bruchstrich und Nenner. Die Zahl über dem Bruchstrich wird dabei Zähler genannt, die Zahl unter dem Bruchstrich ist der Nenner.
Brüche können gleiche Nenner und unterschiedliche Nenner aufweisen. Die Addition von Brüchen mit gleichen Nennern (= gleichnamige Brüche) ist dabei sehr einfach. Daher starten wir damit bevor wir zu verschiedenen Nennern (= ungleichnamige Brüche) weitergehen.
Gleichnamige Brüche addieren
Brüche mit gleichen Nennern werden als gleichnamige Brüche bezeichnet. Sie können sehr einfach addiert werden, indem die Zähler addiert werden und der Nenner beibehalten wird.
Das Brüche addieren mit gleichnamigen Nenner funktioniert auch wenn Einheiten verwendet werden. Im nächsten Beispiel wird die Längeneinheit Meter verwendet. Die Addition der Brüche findet auch hier durch addieren der Zähler und Beibehaltung des Nenners statt.
Brüche zu addieren oder subtrahieren funktioniert auch mit mehreren Brüchen. In diesem Fall werden die Zähler und Nenner addiert und subtrahiert bei gleichem Nenner.
Ist eine Zahl in der Mathematik noch nicht bekannt, wird ein Platzhalter eingesetzt. In der Grundschule ist das oft ein Kästchen, in welches eine Zahl eingetragen werden muss. Das Kästchen wird später mit einer Variablen (= Buchstabe) ersetzt. Die Addition gleichnamiger Brüche mit Variablen funktioniert jedoch so wie wenn nur Zahlen vorkommen.
Das Kommutativgesetz gilt auch für das Addieren von Brüchen. So darf die Reihenfolge der Brüche vertauscht werden ohne das sich das Ergebnis (= Summe) ändert.
Sofern der Nenner gleich ist, sieht die allgemeine Rechenregel vor, diesen beizubehalten und im Zähler die Zahlen bzw. Variablen zu addieren.
Im nächsten Abschnitt sehen wir uns die Addition ungleichnamiger Brüche an.
Ungleichnamige Brüche addieren
Ungleichnamige Brüche sind Brüche mit verschiedenen Nennern. Um ungleichnamige Brüche zu addieren, muss zunächst ein gemeinsamer Nenner für alle Brüche gefunden werden. Es gibt verschiedene Möglichkeiten einen gemeinsamen Nenner bzw. Hauptnenner für alle Brüche zu finden. Diese sehen wir uns nun mit einem Beispiel an.
Eine sehr einfache Möglichkeit einen gemeinsamen Nenner zu finden besteht darin die beiden Ausgangsnenner miteinander zu multiplizieren.
Als gemeinsamer Nenner für die Brüche wurde die Zahl 12 berechnet. Um im Nenner bei beiden Brüchen auf 12 zu kommen, müssen wir den ersten Bruch mit 4 multiplizieren, den zweiten Bruch müssen wir mit 3 multiplizieren. Dies tun wir sowohl im Zähler, als auch im Nenner. Im Anschluss haben wir zwei gleichnamige Brüche, die wir einfach im Zähler addieren und den Nenner übernehmen.
Bei der Berechnung wurde bei den Brüchen im Zähler und im Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert. Dies wird in der Bruchrechnung als Brüche erweitern bezeichnet. Mehr dazu in den nächsten Abschnitten.
Hauptnenner finden mit kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches)
Eine weitere Möglichkeit einen gemeinsamen Nenner zu finden ist das kleinestes gemeinsames Vielfache, kurz kgV. Der gemeinsame Nenner - der dabei entsteht - wird Hauptnenner genannt. Für kleine Zahlen lässt sich das kleinste gemeinsame Vielfache mit der Vielfachenmenge bestimmen. Wir nehmen zunächst noch einmal unser Beispiel von eben:
Die Nenner sind 3 und 4. Wie bilden die Vielfachen von 3 und 4 und schreiben diese in eine Vielfachenmenge.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 3 und 4 ist die Zahl 12. Die 12 ist damit der Hauptnenner. Um auf 12 im Nenner zu kommen, muss der erste Bruch mit 4 multipliziert werden, der zweite Bruch muss mit 3 multipliziert werden. Dies muss sowohl im Zähler, als auch im Nenner passieren. Die Multiplikation von Zähler und Nenner mit der gleichen natürlichen Zahl wird als Bruch erweitern bezeichnet.
Das kleinste gemeinsame Vielfache wurde bisher mit der Multiplikation der Nenner oder den Vielfachenmengen bestimmt. Werden die Zahlen jedoch sehr groß, führt dieser Weg zu sehr großen Zahlen bei der Berechnung. Daher sehen wir uns noch die das kleinstes gemeinsame Vielfache mit der Primfaktorzerlegung an.
Mehrere Brüche addieren mit kgV und Primfaktorzerlegung
Um den Hauptnenner von Brüchen mit größeren Zahlen zu finden, wird das kleinste gemeinsame Vielfache mit der Primfaktorzerlegung berechnet. Das nächste Beispiel zeigt die Addition von drei ungleichnamigen Brüchen.
Für jeden Nenner führen wir eine Primfaktorzerlegung durch. Darunter versteht man die Zerlegung einer Zahl in eine Multiplikation aus möglichst kleinen natürlichen Zahlen: Primzahlen.
Zunächst wird die Zahl 88 zerlegt. Die Zerlegung in Primfaktoren ergibt 2 · 2 · 2 · 11. Da die Zahl 2 insgesamt 3 Mal vorkommt wird sie mit der Potent 23 abgekürzt. Die 11 kommt 1 Mal vor, daher 111.
Die Zahl 144 wird ebenfalls in Primfaktoren zerlegt. Wir erhalten die Zahl 2 insgesamt 4 Mal (= 24) und die Zahl 3 erhalten wir 2 Mal (= 32).
Die Zahl 198 wird ebenfalls in eine Multiplikation aus Primzahlen zerlegt. Wir erhalten die Zahl 2 insgesamt 1 Mal (= 21) und die Zahl 3 erhalten wir 2 Mal (= 32) sowie die Zahl 11 bekommen wir 1 Mal (= 111).
Im nächsten Schritt übernehmen wir die Potenzschreibweise der drei Zahlen. Um das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zu berechnen, übernehmen wir für alle drei Basen die Potenz mit dem höchsten Exponenten. Bei der Basis 2 ist dies 24, bei der Basis 3 ist dies 32 und bei der Basis 11 ist es 111. Diese multiplizieren wir miteinander um das kleinste gemeinsame Vielfache zu berechnen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 88, 144 und 198 ist 1584. Die 1584 ist unser Hauptnenner und wir müssen die drei Brüche aus unserer Aufgabenstellung auf 1584 im Nenner bringen. Um die nötigen Faktoren zu berechnen, teilen wir diese Zahl durch 88, 144 und 198.
Wir müssen die drei zu addierenden Brüche mit 18, 11 bzw. 8 erweitern. Den Bruch erweitern bedeutet sowohl den Zähler als auch den Nenner mit dieser Zahl zu multiplizieren. Wir erhalten drei gleichnamige Brüche.
Die drei gleichnamigen Brüche können wir addieren, indem wir die Zähler addieren und den Nenner übernehmen.
Wir erhalten 1829 : 1584 als Ergebnis.
Brüche addieren: Ganzen Zahlen und negative Zahlen
Um einen Bruch zu einer ganzen Zahl zu addieren, wird die ganze Zahl in einen Bruch mit gleichem Nenner umgewandelt. Die ganze Zahl wird dabei mit dem Nenner des Bruchs erweitert, sprich Zähler und Nenner werden mit der gleichen Zahl multipliziert. Wir erhalten zwei gleichnamige Brüche und können die Zähler addieren während der Nenner beibehalten wird.
Die Addition von Brüchen funktioniert auch bei negativen Zahlen. Im nächsten Beispiel wir die negative ganze Zahl -4 zum Bruch 3 : 8 addiert. Für die Berechnung wandeln wir die negative Zahl in einen Bruch mit gleichem Nenner (in diesem Fall) 8 um. Wir erhalten zwei gleichnamige Brüche und addieren diese im Anschluss.
Im nächsten Abschnitt geht es um die Umwandlung von gemischten Zahlen bzw. gemischten Brüchen für die Addition.
Gemischte Brüche (gemischte Zahlen) addieren
Um gemischte Brüche bzw. gemischte Zahlen zu addieren, werden diese in einfache Brüche aus Zähler und Nenner umgerechnet. Als Beispiel die Addition zweier gemischter Brüche.
Den ersten Bruch wandeln wir um, indem wie die ganze Zahl (2) auf den Nenner 4 bringen. Dazu erweitern wir den Bruch mit 4, sprich wir multiplizieren Zähler und Nenner mit 4. Wir erhalten zwei gleichnamige Brüche, die wir addieren.
Den zweiten Bruch wandeln wir um, indem wie die ganze Zahl (4) auf den Nenner 3 bringen. Dazu erweitern wir den Bruch mit 3, sprich wir multiplizieren Zähler und Nenner mit 3. Wir erhalten zwei gleichnamige Brüche, die wir addieren.
Die zwei gemischten Brüche haben wir nun in zwei Brüche mit nur Zähler und Nenner umgewandelt. Den Hauptnenner erhalten wir durch Multiplikation der beiden Nenner mit 4 · 3 = 12. Wir erweitern daher den ersten Nenner mit 3 und den zweiten Nenner mit 4 und können im Anschluss die Addition der Brüche durchführen.
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