Was ist die Diagonale eines Parallelogramms?

Dies sind die notwendigen Formeln zum Berechnen eines Parallelogramms:

Link zur Grafik: https://www.matheretter.de/img/wiki/parallelogramm-formeln.png

Erläuterungen:

Winkel α = 180° - Winkel Beta = Arkussinus(Höhe a/Seite b) → α = 180°-β = sin-1(ha/b)

Winkel β = 180° - Winkel Alpha = Arkussinus(Höhe b/Seite a) → β = 180°-α = sin-1(hb/a)

Diagonale e = Wurzel aus (Seite a² + Seite b² - 2 mal Seite a mal Seite b mal Kosinus(Beta)) → e = √(a2 + b2 - 2·a·b·cos(β))

Diagonale f = Wurzel aus (Seite a² + Seite b² - 2 mal Seite a mal Seite b mal Kosinus(Alpha)) → f = √(a2 + b2 - 2·a·b·cos(α))

Höhe a = Seite b mal Sinus(Alpha) → ha = b·sin(α) = b·sin(β)

Höhe b = Seite a mal Sinus(Alpha) → hb = a·sin(α) = a·sin(β)

Umfang = 2 mal Seite a + 2 mal Seite b → u = 2·a + 2·b

Flächeninhalt = Seite a mal Höhe a = Seite b mal Höhe b → A = a·ha = b·hb = a·b·sin(α)

Definition:

Ein Parallelogramm (auch "Rhomboid") ist ein Viereck, eine geometrische Figur, die aus 4 Seiten besteht. Dabei sind die 2 jeweils gegenüberliegenden Seiten gleich lang und parallel zueinander. Aneinanderliegende Seiten bilden jeweils Winkel, die Größen zwischen 0° und 180° annehmen können. Die Summe aller Innenwinkel beträgt 360°.

Weitere Merkmale:

• Das Parallelogramm hat 4 Ecken, 4 Seiten und 1 Fläche.
• Alle Innenwinkel sind zwischen 0° und 180° groß.
• Die gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß.
• Das Parallelogramm ist punktsymmetrisch zu seinem Ursprung.
• Die Flächendiagonalen haben unterschiedliche Längen, sofern alle Winkel ungleich 90° sind.
• Die Flächendiagonalen schneiden sich in einem Punkt, der beide Diagonalen halbiert.
• Betrachtet man den Schnittpunkt der beiden Flächendiagonalen und alle Punkte des Parallelogramms, so erkennt man jeweils 2 zueinander kongruente (deckungsgleiche) Dreiecke.
• Ein Parallelogramm gehört zur Gruppe der Polygone (Vielecke).
• Stehen beim Parallelogramm alle Seiten im rechten Winkel zueinander (bzw. sind alle Innenwinkel rechte Winkel), so spricht man von einem Rechteck. Sind zusätzlich noch alle Seiten gleich lang, so spricht man von einem Quadrat.
• Sind beim Parallelogramm alle Seiten gleich lang und die Innenwinkel keine rechten Winkel, so spricht man von einer Raute (Rhombus).
• Die Parallelogrammgleichung lautet e2+f2 = 2·(a2+b2).
• Es gibt keinen Inkreis und keinen Umkreis*.

Flächenformel:

Die Fläche des Parallelogramms erhält man, wenn man eine Seite mit deren Höhe multipliziert, in etwa so wie beim Rechteck, nur dass die "Höhe" beim Rechteck einer Seite entspricht. Warum funktioniert dies? Stellt euch das Parallelogramm wie folgt zerlegt vor:

Hier erkennt ihr, dass durch die eingezeichnete Höhe das blaue Dreieck entsteht. Verschieben wir dieses nun nach rechts, erkennen wir, dass sich ein Rechteck ergibt. Mit anderen Worten, die Flächen des Parallelogramms (oben) und des Rechtecks (unten) sind gleich. Wir können also beide Flächen berechnen, indem wir Seite mal Höhe rechnen.

Wortherkunft:

Das Wort "Parallelogramm" ist ein zusammengesetztes Wort aus "parallelo" und "gramm". "parallel" kommt von griechisch "parallelos" und heißt "nebeneinanderstehend, gleichlaufend" ("para" = "neben" und "allelon" = "einander, gegenseitig"), "gramma" kommt auch aus dem Griechischen und heißt "Zeichen, Geschriebenes". Das Wort "Rhomboid" kommt vom griechischen "rhomboeidés", das "einen Rhombus ähnelnd" meint. Rhombus (siehe Raute) heißt wiederum "verschobenes Quadrat".

*Warum gibt es keinen Inkreis und keinen Umkreis beim Parallelogramm?

Der Inkreis ist definiert als Kreis, der einen Mittelpunkt hat, welcher zu allen Seiten der Figur den gleichen Abstand hat. Da wir zwei unterschiedlich lange Seiten beim Parallelogramm haben (Ausnahme: Quadrat), gibt es laut Definition keinen Inkreismittelpunkt und auch keinen Inkreis. Für den Umkreis gilt, dass der Kreisring durch alle Punkte der geometrischen Figur verlaufen muss, was beim Parallelogramm nicht möglich ist (sofern es kein Rechteck ist).

Parallelogramm in anderen Sprachen

Chinesisch: 平行四边形. Dänisch: Parallelogram. Englisch: Parallelogram. Finnisch: Suunnikas. Französisch: Parallélogramme. Indonesisch: Jajar genjang. Italienisch: Parallelogramma. Latein: Parallelogrammum. Litauisch: Lygiagretainis. Niederländisch: Parallellogram. Norwegisch: Parallellogram. Polnisch: Równoległobok. Rumänisch: Paralelogram. Russisch: Параллелограмм. Spanisch: Paralelogramo. Türkisch: Paralelkenar. Ungarisch: Paralelogramma. Vietnamesisch: Hình bình hành.

Parallelogramm bzw. Rhomboid

Das Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die einander gegenüber liegenden Seiten zu einander parallel sind

• Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel.
• Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß, je 2 benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°.
• Die beiden Diagonalen halbieren einander im Schnittpunkt M.
• Es gibt keinen Umkreis, Wenn \(a \ne b\) gibt es auch keinen Inkreis

Umfang vom Parallelogramm

Der Umfang vom Parallelogramm entspricht der doppelten Summe der beiden Seitenlängen

\(U = 2(a + b)\)

Winkelsumme im Parallelogramm

Die Summe der Innenwinkel eines Parallelogramm beträgt 360°.

\(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \)

\(\alpha = \gamma ;\,\,\,\,\,\beta = \delta ;\,\,\,\,\,\alpha + \beta = \gamma + \delta = 180^\circ \)

Flächeninhalt vom Parallelogramm

Die Fläche vom Parallelogramm errechnet sich aus dem Produkt von Seite und zugehöriger Höhe

\(A = a \cdot {h_a} = b \cdot {h_b} = a \cdot b \cdot \sin \alpha \)

\(\eqalign{ & {h_a} = b \cdot \sin \left( \alpha \right) \cr & {h_b} = a \cdot \sin \left( \beta \right) \cr} \)

Länge der Diagonalen im Parallelogramm

Die Länge der Diagonalen im Parallelogramm errechnet sich mit Hilfe vom Kosinussatz.

\(\eqalign{ & e = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} = \cr & = \sqrt {{a^2} + {b^2} + 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \alpha \right)} \cr & f = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \alpha \right)} = \cr & = \sqrt {{a^2} + {b^2} + 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} \cr} \)

Parallelogrammsidentität

Die Summe der Flächen der Quadrate über jeder der vier Seiten ist gleich groß der Summe der Flächen über den beiden Diagonalen

\(2 \cdot \left( {{a^2} + {b^2}} \right) = {e^2} + {f^2}\)

Illustration vom Parallelogramm

Viereck poly1Viereck poly1: Polygon A, B, C, D Bogen eBogen e: Kreisbogen(G, H, I) Bogen hBogen h: Kreisbogen(J, K, L) Strecke aStrecke a: Strecke A, B Strecke bStrecke b: Strecke B, C Strecke cStrecke c: Strecke C, D Strecke dStrecke d: Strecke D, A Strecke fStrecke f: Strecke D, E Strecke gStrecke g: Strecke D, F Strecke iStrecke i: Strecke O, P Strecke jStrecke j: Strecke Q, R Punkt MM = (8.2, 5.28) Punkt MM = (8.2, 5.28) Punkt NN = (11.88, 6.14) Punkt NN = (11.88, 6.14) atext1 = “a” atext2 = “a” btext3 = “b” btext4 = “b” h_atext5 = “h_a” h_atext5 = “h_a” h_btext6 = “h_b” h_btext6 = “h_b” AText1 = “A” BText2 = “B” CText3 = “C” DText4 = “D” eText5 = “e” fText6 = “f”

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