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Die Proportionalität ist ein funktionaler Zusammenhang, das heißt eine "Art und Weise", wie mathematische Objekte miteinander zusammenhängen. Ein alltägliches Beispiel ist das Einkaufen beim Bäcker. Die doppelte Menge Brezeln zu kaufen, kostet doppelt so viel - das ist ein proportionaler Zusammenhang. Größen berechnenWeiß man, dass die Zuordnung proportional ist und kennt den Proportionalitätsfaktor ppp, so berechnet man die gefragte Größe xxx, indem man die Grundgröße yyy mit dem Proportionalitätsfaktor multipliziert: x=p⋅yx = p \cdot yx=p⋅y Achtung: Je nachdem, was in der Aufgabenstellung gefragt ist, kann die Grundgröße und zugeordnete Größe verschieden sein. Wichtig ist, dass die gefragte Größe immer die zugeordnete Größe ist. BeispielKosten 5 Rosen 7,50 €, so ist der Preis proportional zur Anzahl der Rosen.
▸ Beispielaufgaben Proportionalitätsfaktor berechnenUm den Proportionalitätsfaktor einer proportionalen Zuordnung zu berechnen, genügt es, sich ein Wertepaar herauszunehmen und diese zu dividieren; und zwar immer so, dass man die zugeordnete Größe durch die Grundgröße dividiert. Im Schaubild bedeutet dies, einen Wert der yyy-Achse durch einen Wert der xxx-Achse zu dividieren. ▸ Beispielaufgaben Auf Proportionalität prüfenUm verschiedene Werte auf Proportionalität zu prüfen, genügt es, überall den Proportionalitätsfaktor zu berechnen. Ist dieser überall gleich, so sind die Werte proportional zueinander. steigere dein Selbstvertrauen im Unterricht, indem du vor Tests und Klassenarbeiten mit unseren unterhaltsamen interaktiven Übungen lernst. lerne unterwegs mit den Arbeitsblättern zum Ausdrucken – zusammen mit den dazugehörigen Videos ermöglichen diese Arbeitsblätter eine komplette Lerneinheit. 24h-Hilfe von Lehrer*innen, die immer helfen, wenn du es brauchst. 89 % der Schüler*innen verbessern ihre Noten mit sofatutor Mit schnellen Schritten zur kostenlosen Testphase!30 Tage kostenlos testen Testphase jederzeit online beenden Sie sind Lehrkraft? Hier entlang! Du möchtest schneller & einfacher lernen?Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule. Kostenlos testenBewertung Ø 4.5 / 92 Bewertungen Du musst eingeloggt sein, um bewerten zu können. Wow, Danke! Die Autor*innen Team Digital Proportionalitätsfaktor und Antiproportionalitätsfaktor lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse Grundlagen zum Thema Proportionalitätsfaktor und AntiproportionalitätsfaktorInhalt
Proportionalitätsfaktor und Antiproportionalitätsfaktor in der MathematikCooper liebt es, in seiner Zeitmaschine durch verschiedene Zeiten zu reisen. Unglücklicherweise bekommt er von jeder Reise graue Haare – wie viele graue Haare er nach einer bestimmten Anzahl von Reisen bekommen wird, kann er nur mithilfe eines Proportionalitätsfaktors bestimmen. Außerdem hält auch der Akku einer Zeitmaschine nicht ewig. Um besser planen zu können, wie viele Stunden Cooper am Tag reisen kann, muss er den Antiproportionalitätsfaktor berechnen können. Schauen wir uns an, was es mit diesen beiden Größen auf sich hat. Was ist ein Proportionalitätsfaktor?Cooper bekommt nach jeder Reise genau $10$ neue graue Haare. Nach der ersten Reise hat er also $10$ graue Haare. Nach zwei Reisen sind es schon $20$ und nach drei Reisen hat er bereits $30$ graue Haare. Wir können diesen Zusammenhang auch in einer Tabelle zusammenfassen: Reise $ (x) $graue Haare $ (y) $110220330440 Je mehr Cooper reist, desto mehr graue Haare bekommt er. Wenn sich die Anzahl der Reisen verdoppelt, dann verdoppelt sich auch die Anzahl grauer Haare. Wenn sich die Anzahl der Reisen verdreifacht, dann verdreifacht sich auch die Anzahl grauer Haare und so weiter. Wir können auch sagen: Das $n$-fache von $x$ führt zum $n$-fachen von $y$. Hierbei steht $n$ für eine beliebige Zahl. Diese Art von Zuordnung nennt man eine proportionale Zuordnung. Sie hat eine Besonderheit, die wir uns wieder anhand einer Tabelle anschauen. Dazu berechnen wir für jedes Wertepaar den Quotienten $y : x$ und tragen ihn in einer zusätzlichen Spalte ein: Reise $(x)$graue Haare $(y)$$ y:x ~ (k)$11010220103301044010 Der Quotient aus $y:x$ hat für alle Wertepaare denselben Wert! Man sagt auch: Die Wertepaare einer proportionalen Zuordnung sind quotientengleich. Den Wert des Quotienten nennen wir Proportionalitätsfaktor $k$. Mithilfe dieses Faktors können wir alle Werte der Zuordnung berechnen: Um den Wert $y$ zu einem vorgegebenen Wert $x$ zu berechnen, musst du nur noch mit dem Proportionalitätsfaktor multiplizieren: $y= k \cdot x$. Und Cooper kann sich überlegen, nach wie vielen Reisen er wohl komplett ergraut sein wird. Was ist ein Antiproportionalitätsfaktor?Nun möchte Cooper wissen, wie viele Tage er seine Zeitmaschine benutzen kann, ohne sie aufladen zu müssen. Wenn er sie $2$ Stunden pro Tag benutzt, hält der Akku $12$ Tage. Bei $4$ Stunden Nutzung pro Tag sind es nur noch $6$ Tage. Und wenn Cooper $6$ Stunden am Tag durch die Zeit reist, muss er die Zeitmaschine schon nach $4$ Tagen aufladen. Wir listen die Werte wieder in einer Tabelle auf: Stunden pro Tag $(x)$Tage $(y)$212466483 Hier verhält es sich umgekehrt zur proportionalen Zuordnung: Je mehr Stunden die Maschine pro Tag genutzt wird, desto weniger Tage hält der Akku. Genauer gesagt: Wenn sich die Stunden pro Tag verdoppeln, halbiert sich die Anzahl der Tage. Wenn sich die Anzahl der Stunden pro Tag verdreifacht, wird die Anzahl der Tage gedrittelt und so weiter. Hier sind die Wertepaare nicht quotienten-, sondern produktgleich. Auch das schauen wir uns in einer Tabelle an. Dazu bilden wir jeweils das Produkt $x \cdot y$ eines jeden Wertepaars: Stunden pro Tag $(x)$Tage $(y)$$x \cdot y ~(p) $21224462464248324 Das Produkt $x \cdot y$ nennen wir den Antiproportionalitätsfaktor $p$. Mit seiner Hilfe können alle Werte der antiproportionalen Zuordnung bestimmt werden: Zu einem gegebenen Wert $x$ kannst du den gesuchten Wert $y$ ausrechnen, indem du den Antiproportionalitätsfaktor $p$ durch $x$ dividierst: $y = p:x$. Kurze Zusammenfassung zum Video Proportionalitätsfaktor und AntiproportionalitätsfaktorIn diesem Video werden dir der Proportionalitätsfaktor und der Antiproportionalitätsfaktor einfach erklärt. Du erfährst, mit welchen Formeln du diese beiden Größen bestimmen kannst. Außerdem findest du neben Text und Video Aufgaben und ein Arbeitsblatt, mit denen du dein neues Wissen gleich testen kannst. Transkript Proportionalitätsfaktor und AntiproportionalitätsfaktorCooper liebt es in seiner Zeitmaschine durch verschiedene Zeiten zu reisen. Seine Zeitmaschine basiert dabei auf Proportionalitäts- und Antiproportionalitätsfaktoren. Pro Reise bekommt Cooper 10 graue Haare. Je mehr Reisen Cooper durchführt, desto mehr graue Haare wird er haben. Das heißt, dass er, wenn er 2 Reisen durchführt, 20 graue Haare haben wird. Bei drei Reisen dreißig graue Haare und bei 4 Reisen 40 graue Haare. Verdoppelt sich die Anzahl der Reisen, so verdoppelt sich auch die Anzahl der grauen Haare. Verdreifacht sich die Anzahl der Reisen, so verdreifacht sich die Anzahl der grauen Haare und so weiter. Und so eine Art von Zuordnung nennt man eine proportionale Zuordnung. Betrachten wir die Werte in der Tabelle nun genauer, so können wir erkennen, dass es bei proportionalen Zuordnungen eine weitere Besonderheit gibt. Der Quotient y geteilt durch x ist für alle Wertepaare gleich groß und heißt Proportionalitätsfaktor k. Die Wertepaare heißen dann quotientengleich. Teilen wir hier die y-Werte durch die x-Werte, so erhalten wir jedes mal zehn. k ist also zehn. Allgemein wissen wir, dass k = y durch x ist. Stellen wir diese Gleichung um, so erhalten wir y ist gleich k mal x und können so alle Werte der Zuordnung berechnen. In unserem Fall haben wir also y ist gleich zehn mal x. Mithilfe des Proportionalitätsfaktors kann man also eine Gleichung aufstellen, die dabei hilft, Werte der Zuordnung zu bestimmen. Wenn Cooper die Zeitmaschine 2 Stunden pro Tag benutzt, reicht der Akku 12 Tage lang. Das heißt, dass er 12 Tage lang reisen kann, ohne die Zeitmaschine aufzuladen. Würde er die Zeitmaschine 4 Stunden täglich benutzen, so würde der Akku nur 6 Tage lang halten bei 6 Stunden täglich nur 4 Tage. Benutzt er sie 8 Stunden täglich, so hält sie sogar nur 3 Tage. Und so eine Art von Zuordnung nennt man eine antiproportionale Zuordnung. Bei einer Verdopplung des einen Werts halbiert sich also der andere Wert. Bei einer Verdreifachung des einen Wertes ergibt sich der dritte Teil des anderen Wertes. Die Werte sind produktgleich. Das Produkt x mal y ist für alle Wertepaare gleich groß. Wir nennen dieses Produkt auch Antiproportionalitätsfaktor p. In diesem Fall ergibt das Produkt von x und y immer 24. p ist also 24. Allgemein wissen wir, dass p = x mal y ist. Stellen wir diese Gleichung um, so erhalten wir y ist gleich p geteilt durch x. In unserem Fall haben wir dann y= 24 durch x. Mit dieser Gleichung können wir nun alle möglichen Werte herausfinden. Während Cooper weiter in verschiedene Zeiten reist, fassen wir zusammen. Eine Zuordnung heißt proportional, wenn dem n-fachen Wert von x der n-fache Wert von y zugeordnet wird. Der Quotient y geteilt durch x ist für alle Wertepaare gleich groß. Diesen Quotienten nennen wir den Proportionalitätsfaktor k. Eine Zuordnung heißt antiproportional, wenn dem n-fachen Wert von x der n-te Teil des Wertes von y zugeordnet wird. Das Produkt x mal y ist für alle Wertepaare gleich groß. Wir nennen es Antiproportionalitätsfaktor p. Und wo hat es Cooper nun hin verschlagen? Die Eiszeit?! Hoffentlich hat er noch einen Plan B. WEITERLESEN24 Kommentare24 Kommentare
Mehr Kommentare Proportionalitätsfaktor und Antiproportionalitätsfaktor ÜbungDu möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Proportionalitätsfaktor und Antiproportionalitätsfaktor kannst du es wiederholen und üben.
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