6.&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp; Zerlegungsgleichheit, Scherung
Zwei grundsätzliche Sätze für die Flächenberechnung:
A)&xnbsp; Kongruente Figuren haben denselben Flächeninhalt. |
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B) Können zwei Figuren in paarweise gleiche Teilfiguren zerlegt werden, so haben sie denselben Flächeninhalt. Solche Figuren heißen �zerlegungsgleich�.
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| Beispiel: Figuren aus den 7 TANGRAM-Teilen (vgl. EG 1) sind immer&xnbsp; flächengleich, da sie zerlegungsgleich sind! |
Flächeninhalt eines Parallelogramms
Die Herleitung folgt unmittelbar oben angegebenen Axiomen. Durch eine Diagonale wird ein Parallelogramm in zwei kongruente Dreiecke geteilt (Kongruenz-satz:..............).&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp; Daraus folgt: |
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Flächeninhalt eines Dreiecks
&xnbsp;A = |
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Scherung - eine flächeninhaltserhaltende Abbildung
Der Flächeninhalt bleibt gegenüber allen Kongruenz-abbildungen invariant (folgt aus ......),&xnbsp; gegenüber allen anderen Abbildungen (Ähnlichkeits- und affinen Abbildungen) im allgemeinen nicht. Bei einer speziellen Affinität (siehe auch EG I/Affinität), der Scherung, besteht doch eine Invarianz des Flächeninhalts. |
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Angabe einer Scherung erfolgt&xnbsp; durch
...... Affinitätsachse (Fixachse)&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp; .......Punktepaar&xnbsp;
Die Konstruktion der Bildfigur benützt hauptsächlich die Geradentreue und die Fixpunkte!
Warum ist die Scherung flächentreu? Antwort: 1. Schritt: Dreiecke, von denen eine Seite in der Scherungsachse liegt, bleiben nach der Abbildung&xnbsp; flächengleich. 2. Schritt: Dreiecke mit einer Seite parallel zur Scherungsachse bleiben ebenso flächen-gleich. 3. Schritt: Dreiecke mit Seiten allgemeiner Lage zur Scherungsachse bleiben&xnbsp; flächen-gleich. 4. Schritt: Allgemeine Vielecke und andere Figuren bleiben flächengleich. |
Anwendung der Scherung - Eckenabschneiden
Ein gegebenes Dreieck soll in ein flächengleiches Dreieck mit gegebener Seitelänge&xnbsp; b� verwandelt werden.
Ein Viereck (z.B. Parallelogramm) soll durch Eckenabschneiden in ein flächengleiches Dreieck verwandelt werden:
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7.&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp; Flächenberechnungen
A) Eine Ergänzung zu den Dreiecksflächenformeln
Nur aus der Kenntnis der drei Seitenlängen eines Dreiecks lässt sich der Flächeninhalt eines Dreiecks mit der sogennannten HERONschen Formel berechnen [HERON, um 130 n.Chr., Alexandria; Formel stammt allerdings von ARCHIMEDES]
&xnbsp;
wobei s&xnbsp; gleich dem halben Umfang ist. (Herleitung siehe etwa WITTMANN 1987,&xnbsp; Seite 374)
B) Herleitung wichtiger elementarer Formeln
Bekannt: Eine mögliche Herleitung des Trapezinhaltes: |
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C)&xnbsp; Flächeninhaltsberechnungen allgemeiner Vier- und Vielecke
Eckenabschneiden: (theoretische Methode) Durch Eckenabschneiden wird die Figur in ein flächengleiches Dreieck verwandelt, von dem mit der Formel der Inhalt berechnet werden kann.
Dreieckszerlegungsmethode:Durch Diagonalen zerlegt man das Vieleck in Dreiecke
Standlinienmethode (�Trapezmethode�) Nach der Wahl einer beliebígen Geraden (Straßenkante) als Standlinie&xnbsp; misst man den Abstand jedes Eckpunktes von dieser Geraden. Es entstehen Trapeze (allenfalls Dreiecke, falls die Standlinie durch einen Eckpunkt geht!) |
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| Koordinatensystemmethode Am besten umschreibt man ein Rechteck und zieht entstehende Inhalte von Dreiecken und Trapezen ab. |
Ohne Beweis werden nun zwei weitere Möglichkeiten der Flächenberechung angeboten:
Formel von PICK
Man zählt die Gitterpunkte und schließt dann mit der Formal auf den Flächeninhalt. (Georg PICK, Prag, 1942 im KZ gestorben) |
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Wichtige Folgerung: Lässt man nur ganzzahlige Angabekoordinaten zu, dann ist der Flächeninhalt auch ganzzahlig oder hat höchstens die Zehnteldezimalstelle 5.
Formel von GAUSS
&xnbsp;(CARL FRIEDRICH GAUSS, 1777 - 1855 , �Princeps mathematicorum�)
Verwendung v.a. im Vermessungswesen: Berechnung von Grundstücksflächeninhalten
P(xi/yi)&xnbsp; seien die Koordinaten der Eckpunkte (i = 1, 2, 3, 4, ...)
Beispiel: P1(3/0), P2(-1/3), | Aus der Katastralmappe:
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