In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Trapez ist. Für alle, die das Wort noch nie gehört haben: Ein Trapez ist eine geometrische Figur, genauer gesagt ein Viereck, mit speziellen Eigenschaften.
- Definition
- Eigenschaften
- Geerbte Eigenschaften
- Spezielle Eigenschaften
- Trapez berechnen
- Umfang
- Flächeninhalt
- Spezielle Trapeze
Definition
Beispiel eines Trapezes
Das Paar paralleler Seiten ist in diesem Fall $a$ und $c$. Mathematische Schreibweise: $a \parallel c$.
Eigenschaften
Geerbte Eigenschaften
Ecken
Jedes Viereck hat vier Ecken.
Seiten
Jedes Viereck hat vier Seiten.
Winkel
In jedem Viereck
– gibt es vier Innenwinkel
– beträgt die Winkelsumme $360^\circ$
$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$
Diagonale
Jedes Viereck hat zwei Diagonalen.
Spezielle Eigenschaften
Seiten
Ein Trapez hat zwei parallele Seiten.
Die beiden parallelen Seiten heißen Grundseiten (hier: $a$ und $c$). Die längere Grundseite wird oft Basis (hier: $a$) genannt.
Die anderen beiden (im Allgemeinen nicht parallelen) Seiten heißen Schenkel ($b$ und $d$).
Winkel
Die Winkel an jedem Schenkel ergänzen sich zu $180^\circ$.
$\alpha + \delta = 180^\circ$
$\beta + \gamma = 180^\circ$
Höhe
Mittelparallele
Die Mittelparallele verläuft parallel zu den Grundseiten.
Die Mittelparallele eines Trapezes ist gleich der halben Summe der beiden Grundseiten: $m = \frac{1}{2}(a+c)$.
Trapez berechnen
Umfang
Flächeninhalt
$$ \begin{align*} A &= m \cdot h &&{\color{gray}|\text{ 1. Formel}} \\[5px] &= \frac{1}{2}(a+c) \cdot h &&{\color{gray}|\text{ 2. Formel}} \\[5px] \end{align*} $$
Flächeninhalt eines Trapezes
Spezielle Trapeze
Abb. 12 / Gleichschenkliges Trapez
Abb. 13 / Rechtwinkliges Trapez
Raute
= gleichseitiges Trapez
Rechteck
= ungleichseitiges Trapez mit vier rechten Winkeln
Quadrat
= gleichseitiges Trapez mit vier rechten Winkeln
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Das Trapez ist ein Viereck mit zwei parallelen Seiten.Seiten:
Zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel. Sie werden Grundseiten genannt. Die beiden anderen Seiten nennt man Schenkel.
Diagonalen:
Die Diagonalen haben im Allgemeinen keine besonderen Eigenschaften.
Winkel:
Die beiden Winkel, die einem Schenkel anliegen ( und
, sowie
und
) ergänzen einander auf 180°.
Symmetrie:
Das allgemeine Trapez ist nicht symmetrisch.
Umfang:
Flächeninhalt:
Umkreis:
Das Trapez besitzt keinen Umkreis.
Inkreis:
Das Trapez besitzt keinen Inkreis.
Seiten:
Zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel. Sie werden Grundseiten genannt. Die beiden anderen Seiten nennt man Schenkel. Diese sind im gleichschenkligen Trapez gleich lang.
Diagonalen:
Die Diagonalen des gleichschenkligen Trapezes sind gleich lang. Sie schneiden einander auf der Symmetrieachse.
Winkel:
Die Innenwinkel an den Parallelseiten sind jeweils gleich groß.
Die beiden Winkel, die einem Schenkel anliegen ( und
) ergänzen einander auf 180°.
Symmetrie:
Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn es eine zu einer Seite senkrechte Symmetrieachse besitzt..
Umfang:
Flächeninhalt:
Umkreis:
Jedes gleichschenklige Trapez besitzt einen Umkreis. Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Seitensymmetralen. Der Umkreisradius ist der Abstand des Mittelpunkts zu einem Eckpunkt.
Inkreis:
Das gleichschenklige Trapez besitzt keinen Inkreis.