4 gleich 5

Um einen Bruch in Prozent auszudrücken, wird der Bruch auf den Nenner $100$ gebracht.

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Binomische Formeln mit dem Exponent 3
Binomische Formeln mit dem Exponent 4
Binomische Formeln mit dem Exponent 5

Ein Zwanzigstel der Zahl kann so umgerechnet werden: 120=1 ⋅520⋅5=5100=5%.

Ein Zehntel ist 110=1⋅1010⋅10=10100= 10%.

Ein Achtel:18=125:101000:10=12,5100=12,5%.

Ein Fünftel: 15=1⋅205⋅20=20100=20%.

Drei Fünftel. 35=3⋅205⋅20 =60100=60%.

Vier Fünftel. 45=4⋅205⋅20=80100=80%.

Ein Viertel einer Zahl sind 14=1⋅254⋅25=25100=25%.

Drei Viertel sind dann 34 =3⋅254⋅25=75100=75%.

Die Hälfte (ein Halbes) ist 12=1⋅502⋅50= 50100=50% .

Binomische Formeln mit dem Exponent 3

Um binomische Terme mit dem Exponenten $3$ zu vereinfachen, lösen wir zunächst die Potenz auf. Dabei zerlegen wir den hoch 3 Term in eine Multiplikation aus einer einzelnen Klammer und einem hoch 2 Term, den wir wiederum mit den uns bekannten binomischen Formeln auflösen können.

$(a + b)^3 = (a+b)^2 \cdot (a+b) = (a^2+2\cdot a \cdot b + b^2) \cdot (a + b)$

Nun müssen wir die zwei übrigen Klammern ausmultiplizieren, das heißt wir nehmen jede Zahl der einen Klammer mit der der anderen mal und verknüpfen sie durch ein Pluszeichen. Dabei ergibt sich zunächst ein sehr komplizierter Ausdruck.

$(a+b)^3 = (a \cdot a^2) + (a \cdot 2\cdot a\cdot b) + (a \cdot b^2) + (b \cdot a^2) + (b\cdot 2\cdot a\cdot b) + (b \cdot b^2)$

Rechnen wir soweit es geht alle Multiplikationen zusammen, erhalten wir folgenden Ausdruck:

$(a + b)^3 = a^3 + \textcolor{red}{(2 \cdot a^2 \cdot b)}+ \textcolor{blue}{(a \cdot b^2)} + \textcolor{red}{(b \cdot a^2)} + \textcolor{blue}{(2\cdot a\cdot b^2)} + b^3$

Die farbig markierten Terme lassen sich zusammenfassen:

$(a + b)^3 = a^3 + \textcolor{red}{3 \cdot a^2 \cdot b} + \textcolor{blue}{3 \cdot a \cdot b^2} + b^3$

Diese Formel lässt sich entsprechend auch für den Fall einer Differenz formulieren.

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Die binomischen Fomeln mit dem Exponenten $3$

$(a+b)^3 = a^3 + 3\cdot a^2\cdot b + 3\cdot a \cdot b^2 + b^3$
$(a-b)^3 = a^3 - 3\cdot a^2\cdot b + 3\cdot a \cdot b^2 - b^3$

Beispiel

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$(x + 2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3\cdot x \cdot 4 +2^3$

$(x + 2)^3 =x^3 + 6\cdot x^2 + 12 \cdot x + 8$

Binomische Formeln mit dem Exponent 4

Ist der Exponent des Terms eine $4$, wird der Ausdruck noch komplizierter. Das Vorgehen ist dasselbe, wie beim Exponent $3$. Zunächst zerlegen wir die Potenz in eine Multiplikation aus einem hoch 3 Term und einer einzelnen Klammer. Den hoch 3 Term können wir mit der eben aufgestellten binomischen Formel ausrechnen.

$(a+b)^4 = (a+b)^3 \cdot (a+b) = (a^3 + 3\cdot a^2\cdot b + 3\cdot a \cdot b^2 + b^3) \cdot (a+b)$

Jetzt müssen die Klammern nur noch ausmultipliziert werden.

$(a+b)^4 = a^4 + 4\cdot a^3 \cdot b + 6 \cdot a^2 \cdot b^2 + 4\cdot a \cdot b^3 + b^4$

Der Term lässt sich natürlich auch wieder für den Fall formulieren, dass innerhalb der Klammer eine Differenz steht.

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Die binomischen Formeln mit dem Exponenten $4$

$(a+b)^4 = a^4 + 4\cdot a^3 \cdot b + 6 \cdot a^2 \cdot b^2 + 4\cdot a \cdot b^3 + b^4$

$(a-b)^4 = a^4 - 4\cdot a^3 \cdot b + 6 \cdot a^2 \cdot b^2 - 4\cdot a \cdot b^3 + b^4$

Beispiel

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$(3+x)^4 = 81 + 108 \cdot x + 54 \cdot x^2 + 12 \cdot x^3 + x^4$

$(3-x)^4 = 81 -108 \cdot x + 54 \cdot x^2 - 12 \cdot x^3 + x^4$

Binomische Formeln mit dem Exponent 5

Der Fall, dass der Exponent eines Binoms $5$ ist, ist sehr selten. Aber auch für diesen Fall wollen wir einmal die binomische Formel formulieren. Das Vorgehen ist dasselbe wie bei den Exponenten $3$ und $4$. Als Ergebnis erhalten wir folgende Ausdrücke: