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Vereinfachen von Termen
Terme sind Rechenausdr�cke, die u.a. aus Zahlen, Variablen (also Buchstaben, die f�r unbekannte Zahlen einer bestimmten "Art" stehen) und Rechenzeichen bestehen. Eine Gleichung ist kein Term, sondern eine Aussage dar�ber, da� zwei Terme wertgleich sind. Ein Term enth�lt also kein Gleichheitszeichen!
Wenn ein
Term nur aus Zahlen besteht, so kann man ihn einfach ausrechnen. Dabei mu� man die gewohnten Regeln beachten:
* Eingeklammertes geht vor
* Potenzen- vor Punktrechnung
* Punkt- vor Strichrechnung
* von links nach rechts ausrechnen
Beispiel:
3 � (4 - 3,5)� - ((5 + 4) - 3 � 11) = 3 � 0,5� - ( 9 - 33 ) = 3 � 0,25 - (-24) = 0,75 + 24 = 24,75Wer das Rechnen mit Buchstaben �berhaupt nicht versteht, sollte sich einmal �berlegen, da� ja auch unsere Zahlenzeichen, wie z.B. die 1, auch nur Symbole sind. Da� man f�r 1 + 1 + 1 + 1 + 1 auch 5�1 (oder gleich 5) schreiben kann, wird wahrscheinlich keine Maus hinter dem Ofen hervorlocken. Das Rechnen mit anderen Symbolen ist auch nicht komplizierter, sondern eher einfacher, weil man weniger rechnen mu�. Man fa�t einfach gleichartige Symbole zusammen, indem man sie "z�hlt".
Zusammenfassen gleichartiger GliederDie f�nf (einander gleichen) Herzen ♥ + ♥ + ♥ + ♥ + ♥ sind zusammen soviel wie f�nfmal ein solches Herz, also 5�♥ oder
auch einfach 5♥.
F�r die Summe ♣ + ♦ + ♠ + ♠ + ♠ + ♥ + ♦ + ♣ + ♦ + ♥ + ♣ + ♠ kann man kurz 3�♣ + 4�♠ + 2�♥ + 3�♦ schreiben oder (auch hier ohne Malpunkte): 3♣ + 4♠ + 2♥ + 3♦.
Mit Buchstaben funktioniert es genauso wie mit den Kartensymbolen: Man fa�t die gleichen Buchstaben zusammen und nimmt sozusagen nur einen Buchstaben jeder Art mal mit der insgesamt vorhandenen Anzahl. Zur Erinnerung: Summanden einer Summe darf man umordnen (Kommutativgesetz). Daher ist z.B. a + c + b + a + b + a dasselbe wie a + a + a + b + b + c oder 3a + 2b + c. Wenn nur ein Buchstabe einer bestimmten "Sorte" enthalten ist, l��t man �brigens die 1 weg, wie im letzten Beispiel beim c.
Nat�rlich kann durch Subtraktionen die Anzahl auch verringert werden: a + a + a - a entspricht 3a - a, also "drei a minus ein a", und das ergibt nat�rlich "zwei a", also: a + a + a - a = 2a.
Beispiele
x + x + x = 3x x + x - x + x = 2x a + 2a + 3b + 2b = 3a + 5b x + y + x = 2x + y 3a + 4a = 7a 4g - g = 3g h - 7h = -6h 3m + 1 - 5m = 1 - 2m a - b + a = 2a - b 2x + 4 - x + 5 = x + 9 10x - 2,1x = 7,9x 3a + 6b = 3a + 6b a + 2b + c - a = 2b + c 2e - 4f - 3e + 4f = -eNicht immer kann man alles vereinfachen. Im drittletzten Beispiel kann man beispielsweise �berhaupt nichts machen, da a und b jeweils nur in einem Summanden auftauchen und die beiden nicht miteinander "verrechnet" werden k�nnen. (Auch die Faktoren 3 und 6 nicht, weil sie nur die jeweiligen Anzahlen der a und der b anzeigen!!!) Im vorletzten Beispiel blieben aus dem selben Grund die 2b und das c einfach stehen.
Bleiben von einer Variablen Null �brig, wie im vorletzten Beispiel vom a oder im letzten Beispiel vom f, so schreibt man nicht etwa 0a oder 0f, sondern l��t die Variable einfach ganz weg.
Anstelle von -1e schreibt man nur -e.
Einzelne Zahlen, wie im achten und im zehnten Beispiel,
fa�t man ebenfalls nach M�glichkeit zusammen und rechnet sie selbstverst�ndlich gleich aus (siehe zehntes Beispiel: 4+5=9).
Einzelstehende Zahlen und Variablen aus andern Summanden d�rfen nicht "verrechnet" werden.
Der Ausdruck 3a bedeutet ausgeschrieben a+a+a, wie wir soeben gesehen haben, nicht etwa a�a�a. Daf�r gibt es eine andere abk�rzende Schreibweise, n�mlich die oben rechts am Buchstaben vermerkte Anzahl gleicher Faktoren in einem Produkt: a�a�a = a�. Die hochgestellte 3 nennt man auch Hochzahl oder Exponent. a� liest man "a hoch drei". Zu a� sagt man au�er "a hoch zwei" auch "a zum Quadrat" oder vereinfacht "a Quadrat".
Handelt es sich nur um ein Produkt, so kann man analog zur Addition die Variablen durch Exponenten zusammenfassen:
a�a�a�a = a4 a�a�b�b�b = a2�b3 x�y�y�x�y�z = x2�y3�zIm letzten Beispiel stehen die Variablen "durcheinander". Man darf sie dennoch zusammenfassen, denn es gilt ja das Kommutativgesetz, d.h. man darf die Faktoren zun�chst umsortieren. Mit diesem Zwischenschritt hie�e das letzte Beispiel
Sind im Produkt Zahlen enthalten, so werden diese herausgezogen, berechnet und nach vorne geschrieben. (Auch bei dieser "Art von Multiplikation" gilt das Kommutativgesetz, d.h. die Faktoren d�rfen umsortiert werden, auch wenn Zahlen und Variablen gemischt vorkommen.)
4a�5a = 4�5�a�a = 20a2 x��x� = x�x�x � x�x = x5 x��4y�x�5z��7 = 4�5�7�x3�x�y�z2 = 140x4�y�z2Man l��t in solchen Produkten meist die Malpunkte weg, d.h. statt 140x4�y�z2 schreibt man 140x4yz2.
Vorsicht: Eine sehr "beliebte" Fehlerquelle ist das Verwechsel von Faktor und Exponent. Pr�ge Dir den Unterschied sehr gut ein! Die Zahl vor dem Buchstaben ist eine Anzahl und bedeutet eigentlich, da� die Variable sooft addiert wird. Die Hochzahl (Exponent) gibt im Gegensatz dazu an, wie oft die Variable multipliziert wird.
In aller Regel ist x7 nicht dasselbe wie 7x, denn 7x=x+x+x+x+x+x+x, aber x7 = x�x�x�x�x�x�x. Du brauchst Dir nur f�r x irgendeine Zahl zu denken und es mit ihr auszurechenn, um den Unterschied zu sehen. Nimm f�r x beispielsweise die Zahl 2, dann sind 7x n�mlich 14, und x7 = 27 = 2�2�2�2�2�2�2 = 128.
x�x�x ist nicht gleich 3x (auch wenn es drei x sind). Gew�hne dir an, in diesem Fall nicht von "drei x", sondern von "x mal x mal x" oder besser von "x hoch drei" zu reden und zu denken!
�berhaupt kann man seine Vereinfachungen �berpr�fen, indem man f�r alle gleichen Variablen gleiche Zahlen einsetzt und sowohl den gegebenen Term als auch den vereinfachten Term ausrechnet. Stimmen beide Ergebnisse �berein, so d�rfte die Vereinfachung in den meisten F�llen stimmen (obwohl ein Beispiel kein Beweis ist!!!!), stimmen sie jedoch nicht �berein, so war die Vereinfachung sicher falsch.
Produkte aus verschiedenen Variablen k�nnen nicht weiter vereinfacht werden. Statt i�q kann man allenfalls iq, qi oder q�i schreiben.
Zusammenfassen gemischter SummandenIn Ausdr�cken, wie xy + 3x�y - 2xy + 7xy� + 3xz, die in ihren Summanden unterschiedliche "Kombinationen" (besser Produkte) von Variablen und Exponenten haben, d�rfen nur diejenigen zusammengefa�t werden, die in allen Variablen und zugeh�rigen Exponenten genau �bereinstimmen.
Klammern mit Variablen werden prinzipiell so aufgel�st wie Klammern, die nur reine Zahlen enthalten. Der wesentliche Unterschied besteht darin, da� man den Klammerinhalt meist nicht wirklich "ausrechnen" kann, aber man f�ngt auch hier mit den Vereinfachungen in der innersten Klammer an.
Zahl oder Variable oder Produkt mal Klammer
Jeder Summand in der Klammer wird mit der Zahl (oder der Variable / dem Produkt) vor (hinter) der Klammer multipliziert (Distributivgesetz). Vorzeichenregeln beachten!
Plusklammer
Die Klammern k�nnen
einfach weggelassen werden, wenn direkt vor der Klammer ein Plus steht (ohne Zahl!):
Minusklammer
Alle Vorzeichen in der Klammer werden umgedreht, die Klammer und das Minus vor der Klammer entfallen dadurch:
Klammer mal Klammer
Jeder Summand der ersten Klammer wird mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert (als Summanden gelten auch solche mit negativem Vorzeichen). Achtung: Vorzeichenregeln beachten!
Bei drei Klammern vereinigt man erst ein Paar, das man allerdings dabei in Klammern l��t, und multipliziert dann mit der dritten Klammer aus.
(x + 2)�(3a - b)�(2a - x) = (3ax - bx + 6a - 2b)�(2a - x) = 6a�x - 3ax� - 2abx + bx� + 12a� - 6ax - 4ab + 2bxEin Exponent an einer Klammer bedeutet dasselbe wie bei Zahlen: Die Klammer mu� sooft mal sich selbst genommen werden, wie der Exponent anzeigt.
(x - y)� = (x - y)�(x - y) = x� - xy - xy + y� = x� - 2xy + y� (2a + 3b)� = (2a + 3b)�(2a + 3b) = 4a� + 6ab + 6ab + 9b� = 4a� + 12ab + 9b� (5x - 8y)� = (5x - 8y)�(5x - 8y) = 25x� - 40xy - 40xy + 64y� = 25x� - 80xy + 64y� (Solche Ausdr�cke kann man mit den binomischen Formeln direkt aufl�sen) (a - b)� = (a - b)�(a - b)�(a - b) = (a� - ab - ab + b�)�(a - b) = (a� - 2ab + b�)�(a - b) = a� - a�b - 2a�b + 2ab� + ab� - b� = a� - 3a�b + 3ab� - b�Weitere Beispiele
3x� - 3x - 4x�(3 - x) = 3x� - 3x - 12x + 4x� = 7x� - 15x -a�(2a + 3b)� - (a - b)� = -a�(4a� + 12ab + 9b�) - (a� - 3a�b + 3ab� - b�) = -4a� - 12a�b - 9ab� - a� + 3a�b - 3ab� + b� = -5a� - 9a�b - 12ab� + b� 3�(x - y)� - ((5 + y�) - x� � 11) (vergleiche allererstes Beispiel) Ausrechnen nicht m�glich. Daher zun�chst Aufl�sen der Quadratklammer (siehe oben): = 3�(x� - 2xy + y�) - ((5 + y�) - 11x�) Aufl�sen der ersten Klammer (Ausmultiplizieren): = 3x� - 6xy + 3y� - ((5 + y�) - 11x�) "Aufl�sen" der inneren Klammer (Weglassen, da Plusklammer): = 3x� - 6xy + 3y� - (5 + y� - 11x�) Aufl�sen der Minusklammer: = 3x� - 6xy + 3y� - 5 - y� + 11x� Zusammenfassen gleichartiger Summanden: = 14x� - 6xy + 2y� - 5 3x - (-5xyx� + 23x)�(4y� - 1) | Klammern ausmultiplizieren = 3x - (-20x�y� + 5x�y + 92xy� - 23x) | Minusklammer aufl�sen = 3x + 20x�y� - 5x�y - 92xy� + 23x | Zusammenfassen = 20x�y� - 5x�y - 92xy� + 26x 1 - (2 + 3(x - (4 - (5x - 6)))) (Zwischen Zahl und Klammer darf der Malpunkt entfallen) = 1 - (2 + 3(x - (4 - 5x + 6))) = 1 - (2 + 3(x - (10 - 5x))) = 1 - (2 + 3(x - 10 + 5x)) = 1 - (2 + 3(6x - 10)) = 1 - (2 + 18x - 30) = 1 - (-28 + 18x) = 1 + 28 - 18x = 29 - 18x (x - 3y)(1 - 2x) - x - 3x(x - y) (auch zwischen zwei Klammern kann � wegfallen) = x - 2x� - 3y + 6xy - x - 3x� + 3xy = -5x� + 9xy - 3y (x - y)4 = (x - y)��(x - y)� = (x� - 2xy + y�)�(x� - 2xy + y�) (siehe oben) = x4 - 2x�y + x�y� - 2x�y + 4x�y� - 2xy� + x�y� - 2xy� + y4 = x4 - 4x�y + 6x�y� - 4xy� + y4© Arndt Br�nner, 29. 9. 2003
Version: 28. 12. 2004