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Der Satz des Pythagoras lässt sich auf viele Weisen grafisch herleiten. Nachstehend ein Beweis ausführlich festgehalten. Diese Grafik hilft zum Verstehen:
Zeichnet man ein großes Quadrat, bei dem jede der Seiten aus den Teilstrecken a und b besteht, erhält man für die Quadratsfläche die Formel (a+b)·(a+b). Diese Flächenformel lässt sich mittels der 1. Binomischen Formel ausmultiplizieren zu: (a+b)·(a+b) = a² + 2·a·b + b²
Gleichfalls ergibt sich die gesamte Quadratsfläche (a+b)·(a+b) aber auch, wenn wir die weiße Quadratsfläche c² und die 4 Dreiecksflächen addieren. Dies kann als Gleichung wie folgt festgehalten werden: c² + 4 · (a·b : 2). Daraus erhalten wir: c² + 2·a·b
Beide vorgenannten Flächen entstammen aus (a+b)·(a+b), sind also gleich groß. Wir dürfen sie demnach gleichsetzen:
(a+b)·(a+b) = (a+b)·(a+b)
a² + 2·a·b + b² = c² + 2·a·b
Wenn wir nun auf beiden Seiten der Gleichung 2·a·b abziehen, erhalten wir:
a² + b² = c² → der Satz des
Pythagoras.
Hier sei noch ein Zahlenbeispiel zum Beweis gegeben:
Nachweis für Quadratsfläche c²
Wenn wir die vier grünen rechtwinkligen Dreiecke in das große Quadrat (a+b)² legen, warum ergibt sich dann eigentlich ein Quadrat im Inneren (mit den Seiten c)?
Diese Frage können wir beantworten, indem wir den Winkelsummensatz nutzen. Der Winkelsummensatz besagt, alle Innenwinkel eines Dreiecks müssen zusammen 180° ergeben. Ist ein Winkel rechtwinklig, müssen die beiden nicht-rechtwinkligen Winkel (Alpha und Beta) zusammen 90° sein.
Bei der folgenden Grafik können wir erkennen, dass Alpha und Beta unten auf der Seite des großen Quadrats liegen und mit dem orangen Winkel einen gestreckten Winkel von 180 Grad bilden. Da α + β + oranger Winkel = 180° sein müssen, kann der orange Winkel als Teil des gestreckten Winkels nur eine Größe von 90° (also γ) haben:
Inhalt
- Satz des Pythagoras
- Satz des Pythagoras – geometrischer Beweis
- Satz des Pythagoras - Zusammenfassung
Satz des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras besagt: Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der beiden Kathetenquadrate genau gleich dem Hypotenusenquadrat. Das schreibt man meistens als Formel auf. Die beiden Katheten werden mit $a$ und $b$ bezeichnet, die Hypotenuse mit $c$. Der Satz des Pythagoras kann damit durch die folgende Formel ausgedrückt werden:
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
In diesem Video wird dir ein Beweis dieses Satzes verständlich erklärt. Der Beweis des Satzes stellt sicher, dass der Satz für beliebige rechtwinklige Dreiecke gilt.
Satz des Pythagoras – geometrischer Beweis
Mit geeigneten Bauklötzen in der Form kongruenter rechtwinkliger Dreiecke sowie einem Quadrat der passenden Größe kannst du die folgende Figur zusammensetzen:
Die Kantenlänge des kleinen Quadrats im Inneren der Figur entspricht der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, also $c$. Die beiden Katheten $a$ und $b$ ergeben nebeneinandergelegt die Seitenlänge $(a+b)$ des äußeren Quadrats. Wir berechnen den Flächeninhalt $A_{\Box}$ des äußeren Quadrats:
$A_{\Box} = (a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}$
In der rechten Gleichung haben wir die binomische Formel verwendet.
Da sich das äußere Quadrat aus den vier kongruenten Dreiecken und dem inneren Quadrat zusammensetzt, können wir seinen Flächeninhalt auch durch die Flächeninhalte dieser einzelnen Figuren beschreiben. Den Flächeninhalt jedes der rechtwinkligen Dreiecke können wir mit der Formel $A_\Delta = \frac{1}{2}gh$ berechnen. Hierbei ist $g$ die Grundseite und $h$ die zugehörige Höhe des Dreiecks. Bei einem rechtwinkligen Dreieck können wir $g=a$ und $h=b$ wählen – oder umgekehrt. Der Flächeninhalt jedes der rechtwinkligen Dreiecke ist also:
$A_\Delta = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$
Bevor wir den Flächeninhalt des inneren Quadrats bestimmen, stellen wir sicher, dass die Figur im Inneren wirklich ein Quadrat ist. Da die vier Dreiecke, die an den Seiten dieser inneren Figur anliegen, zueinander kongruent sind, haben alle vier Seiten der inneren Figur dieselbe Seitenlänge, nämlich $c$. Ein Viereck mit vier gleich langen Seite nennt man Raute. Ein Quadrat ist eine sehr spezielle Raute, bei der nämlich alle Innenwinkel dieselbe Winkelgröße von $90^\circ$ haben. Die Winkelgröße des Innenwinkels der inneren Figur können wir mithilfe der Winkelsumme im Dreieck herausfinden.
In dem rechtwinkligen Dreieck beträgt die Summe der Winkel $\alpha+\beta=90^\circ$. An dem gestreckten Winkel, der einem Eckpunkt des inneren Vierecks anliegt, ergeben sich ebenfalls die Winkel $\alpha$ und $\beta$.
Der Innenwinkel $\delta$ des inneren Vierecks bildet zusammen mit den Winkeln $\alpha$ und $\beta$ einen gestreckten Winkel.
Nun können wir die Winkelgröße des Innenwinkels $\delta$ ausrechnen. Für den gestreckten Winkel erhalten wir:
$180^\circ = \alpha+\beta+\delta$
Lösen wir die Gleichung nach $\delta$ auf, so erhalten wir für jeden Innenwinkel des inneren Vierecks:
$\delta = 90^\circ$
Das innere Viereck hat demnach vier gleich lange Seiten und seine Innenwinkel sind rechte Winkel. Das Viereck ist also ein Quadrat. Sein Flächeninhalt beträgt $c^{2}$, denn seine Seitenlänge ist $c$.
Setzen wir den Flächeninhalt $A_{\Box}$ des äußeren Quadrats mit der Summe der Flächeninhalte der einzelnen Figuren gleich, so erhalten wir:
$A_{\Box} = 4 \cdot A_{\Delta} + c^{2}$
Nun setzen wir $A_{\Box} = a^{2}+2ab+b^{2}$ ein und erhalten:
$a^{2}+2ab+b^{2} = 4 \cdot \frac{1}{2}ab + c^{2} = 2ab+c^{2}$
Wir subtrahieren auf beiden Seiten $2ab$ und erhalten die Formel aus dem Satz des Pythagoras:
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
Satz des Pythagoras - Zusammenfassung
In diesem Video wird dir ein geometrischer Beweis des Satzes des Pythagoras verständlich erklärt. Mit diesem Beweis kannst du begründen, dass der Satz des Pythagoras für alle rechtwinkligen Dreiecke gilt. Zu diesem Video gibt es interaktive Übungen und ein Arbeitsblatt, sodass du dein neues Wissen sofort ausprobieren kannst.