Wenn es um Dreiecke als geometrische Objekte geht, musst du dir immer klar machen, welche Eigenschaften verschiedene Dreiecke überhaupt erst besitzen. Denn eine Sache ist wohl klar: Nicht alle Dreiecke sind gleich!
In diesem Artikel erfährst du, was das besondere an einem gleichschenkligen Dreieck ist und welche wichtigen Formeln du dir unbedingt merken musst!
Vorher wiederholen wir aber nochmal was ein Dreieck überhaupt ist!
Wiederholung – Grundlagen des Dreiecks
Ein Dreieck ist eine geschlossene Figur in der Geometrie, die drei Seiten, drei Winkel und drei Ecken aufweist und daher auch den Namen Dreieck trägt.
In den folgenden Unterpunkten erfährst du alles Wissenswerte über ein Dreieck, wie beispielsweise den verschiedenen Arten, dessen Eigenschaften und wie man dieses korrekt beschriftet.
Allgemeines Dreieck
Damit du in Zukunft blitzschnell erkennen kannst, ob es sich bei einer Figur um ein Dreieck handelt oder nicht, zeigen wir dir in Abbildung 1 wie ein allgemeines Dreieck aussieht.
Abbildung 1: Allgemeines Dreieck
Wenn du bei zukünftigen Hausübungen ein Dreieck zeichnen musst, dann halte dich bei der Beschriftung unbedingt an diese Regeln:
Die Eckpunkte werden entgegen dem Gegenuhrzeigersinn mit Großbuchstaben (beginnend bei A in der linken Ecke) beschriftet.
Die Seiten des Dreiecks werden wie ihr gegenüberliegender Eckpunkt bezeichnet, jedoch als Kleinbuchstaben.
Die Seite a befindet sich somit gegenüber vom Eckpunkt A.
Die Winkel werden, wie die Eckpunkte, entgegen dem Gegenuhrzeigersinn beschriftet, jedoch mit griechischen Buchstaben aus dem griechischen Alphabet, beginnend bei Alpha. Das heißt der Winkel Alpha ist genau dort, wo der Eckpunkt A ist.
Hier findest du eine kurze Übersicht über die Zusammenhänge der Bezeichnung der Eckpunkte, der Seiten und deren Winkel:
Eckpunkte | Winkel | Seiten |
A | α | a |
B | β | b |
C | γ | c |
Die drei Winkel ergeben zusammen im Dreieck immer eine Summe von 180°. Dies wird auch als Winkelsumme bezeichnet.
Ein Dreieck kann verschiedenste Seitenlängen oder Größen der Winkel aufweisen, was auch bedeutet, dass diese immer anders aussehen und verschiedene Eigenschaften haben können. Deshalb unterscheidet man die folgenden sechs Dreiecksarten, um einen besseren Überblick schaffen zu können.
Dreiecksarten
Die folgende Übersicht wird dir bestimmt helfen in Zukunft jedes Dreieck seiner Art perfekt zuordnen zu können. Dreiecke werden nach zwei verschiedenen Merkmalen kategorisiert:
- Der Seitenlänge
- Dem größten Winkel
Schauen wir uns die verschiedenen Dreiecke einmal an, die es so gibt.
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| Abbildung 4: Gleichschenkliges Dreieck |
Wenn mehrere Seitenlängen mit dem gleichen Buchstaben beschriftet werden, dann handelt es sich hierbei um gleich lange Seiten. Dies ist ein schneller Weg, um herauszufinden, wie viele Seiten eines Dreiecks gleich lang sind.
Diese Dreiecke werden nach ihren größten Winkeln benannt. Mithilfe folgender Übersicht, kannst du schnell erkennen, um welche Art von Winkel es sich handelt und warum sie so benannt sind.
Spitzer Winkel
Unter diese Kategorie fallen alle Winkel, welche kleiner als 90° sind. In einem spitzwinkligen Dreieck sind demnach alle Winkel kleiner als 90°.
Rechter Winkel
Einen rechten Winkel erkennst du daran, dass hierbei zwei Geraden senkrecht zueinander stehen und der Winkel genau 90° groß ist. Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt daher einen rechten Winkel.
Stumpfer Winkel
Unter diese Kategorie fallen alle Winkel, welche größer als 90° sind. Das stumpfwinklige Dreieck hat demnach einen Winkel, der größer ist als 90°.
Übrigens: Die Größe eines Winkels wird in Grad angegeben und kann mit einem Geodreieck bzw. Winkelmesser gemessen werden. Je größer der Winkel, umso größer die "Öffnung" des Winkels.
Da du nun sicherlich schon ganz neugierig darauf wartest, was ein gleichschenkliges Dreieck besonders macht und wie man Kennzahlen wie Höhe, Fläche oder Umfang berechnet, lassen wir dich nicht länger damit warten.
Gleichschenkliges Dreieck – Eigenschaften
Ein gleichschenkliges Dreieck erkennt man daran, dass zwei seiner Seiten, auch Schenkel genannt, gleich lang und zwei seiner Winkel gleich groß sind.
Ein gleichschenkliges Dreieck besitzt zwei gleich lange Seiten (Schenkel) und zwei gleich große Winkel.
Welche Seiten gleich lang sind, spielt dabei keine Rolle. In der folgenden Abbildung 8 siehst du ein Dreieck mit gleichen Seitenlängen von Seite a und b und damit gleiche Winkel bei Alpha und Beta .
In den nächsten drei Abschnitten werden wir zuerst gemeinsam lernen, wie man ein gleichschenkliges Dreieck konstruiert, danach werden wir alle visuellen Eigenschaften des gleichschenkliges Dreiecks genauestens untersuchen und im Anschluss daran werden wir uns auf die Berechnungen der Kennzahlen Fläche, Umfang und Höhe stürzen.
Konstruktion eines gleichschenkligen Dreiecks
Um ein gleichschenkliges Dreieck konstruieren zu können, brauchst du nicht mehr als ein Lineal, einen Bleistift und ein Blatt Papier.
Zeichne als ersten Schritt eine beliebig lange Strecke auf das Blatt Papier und markiere dir den Mittelpunkt dieser Strecke.
Als Nächstes zeichnest du eine beliebig lange Senkrechte, also eine Strecke, welche im 90° Winkel zu deiner Strecke steht, vom gekennzeichneten Mittelpunkt nach oben.
Als letztes musst du lediglich noch den Endpunkt deiner Senkrechte mit den Eckpunkten der ursprünglichen Strecke verbinden, und siehe da, das gleichschenklige Dreieck ist vollendet.
Um dies besser verstehen zu können, haben wir dir eine Schritt für Schritt Anleitung zusammengestellt.
Verwende hierfür ein kariertes Blatt, denn dadurch kannst du lediglich den Kästchenrändern nachfahren, ohne im zweiten Schritt einen 90° Winkel messen zu müssen.
Eigenschaften und Größen eines gleichschenkligen Dreiecks
Lass uns nun gemeinsam die verschiedenen Eigenschaften des gleichschenkligen Dreiecks genauer unter die Lupe nehmen.
Die Seiten
Unter den Seiten versteht man jene Linien, welche die Figur begrenzen. Verwende für deren Berechnung folgende Formeln:
Die Grundseite beziehungsweise Basis c des gleichschenkligen Dreiecks berechnet sich durch:
Die beiden Schenkel a des gleichschenkligen Dreiecks berechnen sich durch:
Vergleicht man das gleichschenklige Dreieck mit dem allgemeinen Dreieck, fällt auf, dass im gleichschenkligen Dreieck die beiden Schenkel, also zwei der drei Seiten gleich lang sind.
Da wir bereits geklärt haben, dass jeder Kleinbuchstabe im Dreieck stellvertretend für einen bestimmten Wert steht, können wir also beide Schenkel mit dem selben Buchstaben versehen, im Normalfall mit dem Kleinbuchstaben a, wie man in Abbildung 13 erkennen kann.
Die Winkel
Ein Winkelist ein Teil der Ebene, welcher von zwei sich kreuzenden Strahlen begrenzt wird.
Im gleichschenkligen Dreieck sind immer zwei seiner Winkel gleich groß.
Wenn für die Seiten a = b gilt, dann gilt für die Winkel:
In der Grafik 14 kannst du dir die Winkel noch einmal ansehen.
Der "Arcsin" und "Arccos" sind sogenannte Umkehrfunktionen. Das bedeutet, sie ordnen einem Verhältnis einen Winkel zu. Du findest diese Funktion auf deinem Taschenrechner! Einfach eingeben und ausrechnen
Die Höhe
Unter der Höhe h versteht man in einem Dreieck eine Senkrechte auf die Grundlinie, welche zum gegenüberliegenden Eckpunkt verläuft. Für die Höhe gilt:
In der Abbildung 15 sind alle Höhen mit eingezeichnet.
Du fragst dich bestimmt, warum wir überhaupt Höhen benötigen. Sehen wir uns dazu ein Alltagsbeispiel an.
Aufgabe
Stell dir ganz einfach einen Sachverhalt aus dem alltäglichen Leben vor. Dein Vater behauptet, dass du es nicht schaffst, die Höhe der stehenden Leiter genau zu berechnen, wenn er dir sagt, dass die Leiter 6 Meter lang ist und die beiden Enden der Leiter 2 Meter voneinander entfernt sind. Solltest du dies schaffen, erhältst du 10 €.
Ohne auch nur kurz zu zögern, merkst du, dass diese Leiter die Form eines gleichschenkligen Dreiecks hat. Zum Glück erinnerst du dich noch an die spannenden Geometriestunden und kannst noch alle gelernten Formeln des Dreiecks auswendig, unter anderem, wie man die Höhe berechnet.
Lösung
Um ein Rechnungsbeispiel in der Geometrie lösen zu können, notieren wir uns alle in der Angabe aufgeführten Werte und fertigen uns eine Skizze ähnlich der Abbildung 17 des Sachverhalts an.
Die Seitenlänge der Leiter von 6 m bezeichnen wir mit a, den 2 Meter – Abstand der zwei Fußenden mit c und die auszurechnende Höhe mit einem kleinen h.
c = 2 m a = 6 m = ? m
Sofort kannst du dich an die spannenden Geometrie Stunden erinnern und schreibst die Höhenformel im gleichschenkligen Dreieck nieder, welche wie folgt lautet:
Als Nächstes setzt du in der Formel anstelle des Buchstabens c die 2 Meter ein und anstelle des Buchstabens a die angegebenen 6 Meter. Versuche nun die Höhe zu berechnen, indem du die gesamte Formel in den Taschenrechner eingibst.
Dein Vater ist sprachlos und voller Stolz übergibt er dir die versprochenen 10 €.
Es gibt für die Höhen eine andere Formel als für die Höhe .
Möchtest du hingegen die Höhe auf einer der beiden gleichlangen Seiten, den Schenkeln a ausrechnen, musst du folgende Formel anwenden. Möchtest du wissen, was man unter der Höhe versteht, dann sie dir die Abbildung 15 an.
Die Symmetrie
Unter dem Begriff Symmetrie versteht man, dass sich eine Figur an einem bestimmten Punkt oder einer Linie spiegelt. Eine solche Linie wird auch als Symmetrieachse bezeichnet.
Wie man erkennen kann, gibt es nur eine Linie im gleichschenkligen Dreieck, an welchem dieses gespiegelt wird bzw. welches eine Symmetrieachse darstellt. Das gleichschenklige Dreieck hat also immer genau eine Symmetrieachse, nämlich die Höhe selbst.
Die Seitenhalbierende
Die Seitenhalbierende ist die Strecke vom Mittelpunk einer Seite zur gegenüberliegenden Ecke. Der Schnittpunkt dieser stellt den Schwerpunkt des Dreiecks dar.
Wie du in der nachfolgenden Abbildung 19 erkennen kannst, gibt im gleichschenkligen Dreieck wieder drei Seitenhalbierende.
Sie Seitenhalbierende werden immer mit einem "S" gefolgt von der Bezeichnung der jeweiligen Seite im Index beschriftet.
Die Winkelhalbierende
Unter dem Begriff der Winkelhalbierenden versteht man einen Strahl, welcher in den Eckpunkten entspringt und den Winkel in zwei gleich große Teile teilt. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ergibt der Mittelpunkt des Inkreises.
Abbildung 20: Winkelhalbierende im gleichschenkligen Dreieck inklusive Inkreis
Sie Winkelhalbierenden werden immer mit einem "W" gefolgt von der Bezeichnung des jeweiligen Winkels im Index beschriftet.
Der Umkreis
Der Umkreis stellt einen Kreis dar, welcher die Figur umschließt und dabei alle Eckpunkte berührt.
In der Abbildung 21 ist der Umkreis des gleichschenkligen Dreiecks eingezeichnet.
Abbildung 21: Umkreis im gleichschenkligen Dreieck
Verwende zum Zeichnen ein kariertes Rechenblatt, denn dadurch stellst du sicher, dass der Radius des Umkreises von Spitze zu Mittelpunkt effektiv eine gerade Linie darstellt.
Der Inkreis
Der Inkreis ist der größtmögliche Kreis innerhalb der Figur, welcher alle Seiten der Figur berührt.
Um den Inkreis einzeichnen zu können, benötigt man den Radius dessen, welcher mithilfe der obigen Formeln berechnet werden kann. Du kannst den Inkreis ebenfalls durch Einzeichnen des Mittelpunkts ziehen.
Die Fläche
Eine Fläche gibt an, wie groß etwas in der zweidimensionalen Ebene ist. Dadurch kann bei einem Vergleich zweier Figuren festgestellt werden, welche größer ist. Für die Berechnung der Fläche des gleichschenkligen Dreiecks gibt es folgende Formeln.
Der Flächeninhalt A eines gleichschenkligen Dreiecks berechnet sich durch:
Die in dieser Abbildung hellblau markierte Größe, auch Fläche genannt, hilft dir dabei, mehrere geometrische Figuren auf ihre Größe vergleichen kannst. Wie du in Abbildung 23 erkennen kannst, ist das Rechteck, also auch seine Fläche, deutlich größer als das gleichschenklige Dreieck.
Würdest du die Fläche beider Figuren berechnen, würdest du diese noch genauer miteinander vergleichen können. Übrigens, die Fläche wird immer mit einem großen A markiert.
Um bei Dreiecken allgemein die Fläche ausrechnen zu können, benötigt man meistens die senkrechte Linie auf die Grundlinie, auch Höhe genannt. Wenn wir nun die Grundlinie bzw. die Seite c mit der Höhe multiplizieren, also genau wie uns die erste Formel vorschreibt, erhalten wir die in Abbildung 24 dargestellte Figur.
Abbildung 24: Fläche Dreieck vs. Rechteck
Wie man erkennen kann, erhält man indem man c ⋅ rechnet ein Rechteck, welches die Figur umschließt. Bei genauerem Hinsehen merkt man, dass das Rechteck genau doppelt so groß ist wie das Dreieck. Dies bedeutet folglich, dass die Formel für die Fläche jeder Dreiecksart wie folgt lautet:
Sollte die Höhe im gleichschenkligen Dreieck nicht gegeben sein, gibt es folgende zwei Alternativformeln, um die Fläche zu berechnen.
Am Ende dieses Beitrages findest du Übungsaufgaben, bei welchen wir unser Wissen zu Umfang und Fläche vertiefen werden, also bleib dran.
Der Umfang
Unter dem Umfang versteht man die Summe aller Seitenlängen, welche die Figur begrenzen. Somit lautet die Formel für die Berechnung des Umfangs im gleichschenkligen Dreieck:
Den Umfang benötigst du im täglichen Leben öfter als du vielleicht denkst. Stell dir vor du musst deine Wiese einzäunen und möchtest wissen, wie viel Meter Zaun du insgesamt benötigst. Genau hier kommt der Umfang ins Spiel.
Der Umfang wird immer mit einem großen U gekennzeichnet.
Gleichschenkliges Dreieck – Übungsaufgaben
Aufgabe 1
Folgende Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks sind gegeben:
c = 7 cm
a = 8 cm
= 5 cm
Berechne den Umfang und die Fläche!
Lösung
Berechnung des Umfangs
Um den Umfang des Dreiecks auszurechnen, bedienen wir uns der Formel U = c + 2 ⋅ a, wir zählen also alle Seitenlinien, welche die Figur begrenzen, zusammen.
Auf unser Beispiel bezogen sieht dies wie folgt aus:
Somit beträgt der Umfang der Figur 23 cm.
Berechnung der Fläche
Da in unserem Beispiel die Höhe auf die Seite c bereits einen Wert aufweist, können wir die Formel
verwenden.
Auf unser Beispiel bezogen sieht dies wie folgt aus:
Somit beträgt die Fläche des Dreiecks 17,5 cm².
Beachte, dass die Einheit der Fläche immer mit hoch " 2 " versehen wird, da wir uns nun im Zweidimensionalen befinden.
Aufgabe 2
Folgende Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks sind gegeben:
c = 10 cm
a = 12 cm
Berechne den Umfang und die Fläche!
Lösung
Berechnung des Umfangs
Um den Umfang des Dreiecks auszurechnen, bedienen wir uns der Formel U = c + 2 ⋅ a, wir zählen also alle Seitenlinien, welche die Figur begrenzen, zusammen.
Auf unser Beispiel bezogen sieht dies wie folgt aus:
Der Umfang der Figur beträgt also 34 cm.
Berechnung der Fläche
Wie wir in diesem Beispiel feststellen, ist die Höhe nicht Teil der Angabe. Deshalb müssen wir uns die Alternativformel für die Fläche im gleichschenkligen Dreieck zur Hilfe nehmen, welche lautet.
Auf unser Beispiel bezogen sieht dies wie folgt aus: