Volumen Zylinder gleich Flächeninhalt der kreisförmigen Grundfläche mal Länge. Zylinder tauchen im Alltag sehr häufig auf: Stäbe, Türme, Räder sind neben Wassergläsern weitere Alltagsgegenstände, die näherungsweise zylinderförmig sind. Zylinder entstehen analog zu Prismen durch „Langziehen“ einer Grundfläche, im Falle des Zylinders einer kreisförmigen Grundfläche. Die wichtigsten Kenngrößen eines Zylinders sind der Radius der kreisförmigen Grundfläche (Abstand des Mittelpunktes vom äußeren Rand) und die Länge des Zylinders, d. h. der Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche (sie bilden die beiden flachen Deckel, die die gewölbte Mantelfläche abschließen). Die Volumenformel für den Zylinder lautet:
$ Volumen_{Zylinder} = \pi \cdot Radius^2 \cdot Länge$ also
$V_{Zylinder} = \pi \cdot r^2 \cdot l$.
Dabei entspricht $\pi \cdot r^2$ dem Flächeninhalt der kreisförmigen Grundfläche.
Sehen wir uns zum Thema Volumen eines Zylinders folgende Beispielaufgabe an:
Ein zylinderförmiges Wasserglas ist 9 cm hoch und hat einen Radius von 3 cm. Wie viel Flüssigkeit hat in diesem Glas Platz?
Diese Frage zielt auf den Rauminhalt des Zylinders ab. Dazu muss man wissen, dass Volumen in Kubik oder auch in Litern angegeben werden kann. Dabei entspricht ein Kubikmeter einem Liter und 1 Kubikzentimeter einem Milliliter (s. hierzu auch das Video Rechnen mit Hohlmaßen).
Um zu berechnen, wie viel Flüssigkeit in das zylinderförmige Wasserglas passt, wenden wir die Volumenformel für Zylinder an und setzen die gegebenen Größen entsprechend ein. Laut Aufgabenstellung beträgt die Länge $l = 9\, cm$ und der Radius $r = 3\, cm$. Mit der Näherung $\approx 3{,}14$ ergibt sich somit
$V = \pi \cdot r^2 \cdot l\\
= \pi \cdot (3 \, cm)^2 \cdot 9\, cm \\
\approx 3{,}14 \cdot 9\,cm^2 \cdot 9\,cm \\
= 254{,}34\,cm^3\\
= 254{,}34\, ml$
Volumen Zylinder = $254{,}34\,cm^3$ oder auch $254{,}34\, ml$
Lösung: Ein zylinderförmiges Glas mit $r = 3 \, cm$ und $l = 9 \, cm$ fasst etwa $254\, ml$ Flüssigkeit.
Wird ein Zylinder entlang der Ebene, in der die Symmetrieachse liegt, geschnitten, so entsteht der Axialschnitt des Zylinders. Rotiert ein Rechteck um eine seiner Seiten, so entsteht als Rotationskörper ein Zylinder.Rotiert ein Rechteck um eine zur Höhe parallele Achse, so entsteht als Rotationskörper ein Hohlzylinder.
Ein Hohlzylinder ist ähnlich wie ein Zylinder ein geometrischer Körper. Der Unterschied besteht darin, dass bei einem Hohlzylinder ein Durchgang existiert und somit wie ein Rohr innen hohl ist.
Berechnungen am Hohlzylinder
Bei einem Hohlzylinder werden meistens folgende Dinge berechnet:
- Volumen: Formelzeichen V
- Grundfläche des Kreisrings: Formelzeichen G
- Mantelfläche: Formelzeichen M
- Gesamte Oberfläche: Formelzeichen O
- Höhe: Formelzeichen h
- Durchmesser: Formelzeichen d
Formel für Grundfläche, Mantelfläche und die gesamte Oberfläche eines Hohlzylinders
Beispiel:
Durchmesser (D): 80mm
Durchmesser (d): 60mm
Höhe (h): 100mm
Gesucht: Grundfläche G, Mantelfläche M und die Oberfläche O
Berechnung für G: 3,14 : 4 · (6400 - 3600) = 2198mm²
Berechnung für M: 80 · 3,14 · 100 = 25120mm²
Berechnung für O: 3,14 · (80 + 60) · [0,5 · (80 - 60) + 100] = 48356mm²
Formel für das Volumen eines Hohlzylinders
Beispiel:
Durchmesser (d): 80mm
Höhe (h): 100mm
Gesucht: Volumen V
Berechnung für V: 3,14 · 100 : 4 · (6400 - 3600) = 219800mm³
Formel für die Höhe beim Hohlzylinder
Beispiel:
Durchmesser (d): 80mm
Mantelfläche (M): 25120mm²
Gesucht: Höhe h
Berechnung: 25120 : (80 · 3,14) = 100mm
Formel für den Durchmesser
Wie man den Durchmesser berechnet, wird auf Formel für Durchmesser eines Kreises erläutert. Bei den Beispielen wurde für die Kreiszahl Pi zwecks Vereinfachung 3,14 benutzt. Normalerweise hat die Zahl unendliche Nachkommastellen.