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In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Schnittpunkt mit der $\boldsymbol{y}$-Achse ist.
- Einordnung
- Beispiele
- Eigenschaften
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
Einordnung
Im Rahmen der Untersuchung einer Funktion (Kurvendiskussion) interessiert man sich häufig für den Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der $y$-Achse.
Beispiele
Beispiel 1
Gegeben ist der Graph der Funktion:
$$ f(x) = x-3 $$
Schnittpunkt mit der $y$-Achse:
$$ S_y({\color{red}0}|{-3}) $$
Beispiel 2
Gegeben ist der Graph der Funktion:
$$ f(x) = x^2 - 4 $$
Schnittpunkt mit der $y$-Achse:
$$ S_y({\color{red}0}|{-4}) $$
Beispiel 3
Gegeben ist der Graph der Funktion:
$$ f(x) = x^3 $$
Schnittpunkt mit der $y$-Achse:
$$ S_y({\color{red}0}|0) $$
Beispiel 4
Gegeben ist der Graph der Funktion:
$$ f(x) = x^2 - 4x + 4 $$
Schnittpunkt mit der $y$-Achse:
$$ S_y({\color{red}0}|4) $$
Eigenschaften
Ist dir bei den Koordinaten der Schnittpunkte eine Gemeinsamkeit aufgefallen?
Außerdem gilt:
Diese Eigenschaft folgt aus der Definition einer Funktion, wonach jedem Element $x$ der Definitionsmenge $D$ genau ein Element $y$ der Wertemenge $W$ zugeordnet ist. Wenn $0$ zur Definitionsmenge gehört, gibt es einen Schnittpunkt mit der $y$-Achse – andernfalls nicht.
Im nächsten Kapitel besprechen wir, was der $y$-Achsenabschnitt ist.
Zurück Vorheriges Kapitel Weiter Nächstes KapitelSchnittpunkte mit den Achsen
Bei linearen Funktionen ist der Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der $$x$$-Achse und der $$y$$-Achse interessant.
Beispiel 1:
Ein Taxiunternehmen berechnet für die Anfahrt 3,00 € und für jeden gefahrenen Kilometer 1,50 €.
Den
Schnittpunkt mit der $$y$$-Achse erkennst du sofort:
Er liegt bei +3.
Du kannst weitere Werte ablesen:
Für 6 km liegt der Fahrpreis bei 12,00 €.
Jeder Graph, der nicht parallel zur $$y$$-Achse verläuft, schneidet diese genau ein Mal.
Schnittpunkte mit den Achsen
Beispiel 2:
Ein Flugzeug in Höhe von 4500 m befindet sich auf dem Landeanflug.
Es verliert 500 m Höhe pro Minute.
Der Schnittpunkt mit der $$y$$-Achse liegt bei +4500.
Der Schnittpunkt mit der $$x$$-Achse liegt bei 9.
Das Flugzeug hat nach 9 Minuten den Erdboden erreicht.
Du kannst auch weitere Werte ablesen:
Nach 3 Minuten ist die Höhe 3000 m.
Jeder Graph, der nicht parallel zur $$x$$-Achse verläuft, schneidet diese genau ein Mal.
Man kann die Werte im Koordinatenkreuz ablesen.
Jedem $$x$$-Wert ist ein $$y$$-Wert zugeordnet.
Ablesen im Koordinatensystem
Beispiel 3:
$$f(x)=1/2x+1$$
Die Gerade schneidet die $$y$$-Achse bei +1. Das ist der $$y$$-Achsenabschnitt.
Der Schnittpunkt lautet $$P_1 = ( 0|1 )$$.
Die Gerade schneidet die $$x$$-Achse bei -2. Das ist die Nullstelle.
Der Schnittpunkt lautet $$P_2 = ( -2|0 )$$.
Alle Punkte, die auf der $$y$$-Achse liegen, haben als $$x$$-Koordinate die 0.
Alle Punkte, die auf der $$x$$-Achse liegen, haben als $$y$$-Koordinate die 0.
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Schnittpunkte mit der $$y$$-Achse berechnen
Das Ablesen der Schnittpunkte im Koordinatensystem kann ungenau sein.
Den Schnittpunkt mit der $$y$$-Achse kannst du mit der Funktionsgleichung bestimmen ($$y$$-Achsenabschnitt).
Für $$x = 0$$ gilt $$f(0) = m*0 + b$$
$$f(0) = b$$
und somit ist der Punkt $$P_y = ( 0|n )$$ der Schnittpunkt mit der $$y$$-Achse.
Den Schnittpunkt des Graphen einer linearen Funktion mit der $$y$$-Achse kann man an der Gleichung $$f(x) = m*x + $$$$b$$ ablesen. $$b$$ ist der $$y$$-Achsenabschnitt.
Schnittpunkt mit der $$x$$-Achse ablesen
Den Schnittpunkt mit der $$x$$-Achse kannst du nicht an der Funktionsgleichung ablesen. Er wird berechnet.
Beispiel 4:
$$f(x)=1/2*x+1$$
Für den Schnittpunkt mit der $$x$$-Achse muss $$y = 0$$ sein.
Also: $$f(x)=0$$
$$0=1/2*x+1$$ $$|*2$$
$$0=x+2$$ $$|-2$$
$$-2=x$$ oder $$x=-2$$
Probe:$$f(x)=1/2*(-2)+1$$
$$f(x)=-1+1$$
$$f(x)=0$$
Den Schnittpunkt des Graphen einer linearen Funktion mit der $$x$$-Achse kann man berechnen, indem man die Funktionsgleichung gleich 0 setzt.
Was bedeutet der $$y$$-Achsenschnittpunkt?
Schaut man sich das Beispiel mit dem Taxi noch einmal an, so erkennt man, dass der $$y$$-Achsenabschnitt einen Anfangswert darstellt.
Das ist eigentlich nur ein Ausschnitt des Koordinatensystems. Denn eine Gerade ist ja unendlich lang.
Aber als Fahrgast kann man ja keine negative Anzahl von Kilometern fahren und auch keinen negativen Geldbetrag zahlen.
Alle anderen Eigenschaften der linearen Funktion bleiben hingegen erhalten:
- Graph verläuft zu keiner der beiden Achsen parallel
- $$y$$-Achsenabschnitt +3 (abgelesen)
- Nullstelle -2 (abgelesen)
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Berechnen der Schnittpunkte
Stelle für das Berechnen der Schnittpunkte die Geradengleichung auf.
Aus der allgemeinen Form $$f(x) = mx + b$$ ergibt sich $$b = 3$$ als $$y$$-Achsenabschnitt ($$x = 0$$).
Da für jeden gefahrenen Kilometer 1,50 € zu entrichten sind, ist $$m = 1,5$$.
Also: $$f(x) = 1,5x + 3$$
Aus $$f(x)=0$$ folgt:
$$0 = 1,5x + 3$$ $$ǀ -3$$
$$-3 = 1,5x$$ $$ǀ :1,5$$
$$-2 = x$$ oder $$x = -2$$
Mitunter macht es keinen Sinn, den Graphen einer linearen Funktion im negativen Zahlenbereich zu zeichnen.
Was bedeutet der $$y$$-Achsenabschnitt?
Das Beispiel mit dem Flugzeug hat durch Ablesen je einen Schnittpunkt zur $$x$$-Achse und $$y$$-Achse ergeben.
Für die Zeit 0 Minuten, erhält man eine Höhe von 4500 m ($$y$$-Achsenabschnitt) und für die Zeit 9 Minuten eine Höhe von 0 m (Nullstelle).
Auch diese Funktion kannst du in allen 4 Quadranten zeichnen:
Deutung des Funktionsgraphen
4 Minuten vor dem Landeanflug hätte sich das Flugzeug bei gleichbleibendem Sinkflug in einer Höhe von 6500 m befunden, was durchaus denkbar wäre.
Aber nach 12 Minuten kann sich das Flugzeug ja nicht in
einer Tiefe von 1500 m befinden.
Berechnung der Schnittpunkte
Der $$y$$-Achsenabschnitt ist mit der Anfangshöhe von 4500 m leicht zu bestimmen ($$b = 4500$$).
Da die Höhe um 500 m abnimmt, ist $$m = -500$$. Die Funktionsgleichung lautet $$f(x) = -500x + 4500$$.
$$0 = -500x + 4500$$ $$ǀ -4500$$
$$-4500 = -500x$$ $$ǀ :(-500)$$
$$9 = x$$ oder $$x = 9$$
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