Ein Viereck ist eine Figur der ebenen Geometrie mit vier Eckpunkten, vier Seiten und zwei Diagonalen. Ein konvexes Viereck erfordert 5 Bestimmungsstücke, darunter muss mindestens eine Seite sein. 5 Bestimmungsstücke führen bei konkaven zu mehrdeutigen Lösungen
- Die Beschriftung der vier Eckpunkte erfolgt mit Großbuchstaben A, B, C, D, beginnend mit der linken unteren Ecke und erfolgt gegen den Uhrzeigersinn
- Die Beschriftung der vier Seiten erfolgt mit Kleinbuchstaben, wobei: \(a = \overline {AB} ;\,\,\,\,\,b = \overline {BC} ;\,\,\,\,\,c = \overline {CD} ;\,\,\,\,\,d = \overline {DA} ;\)
- Die Beschriftung der vier Innenwinkel erfolgt mit griechischen Kleinbuchstaben, wobei den Scheitelpunkten A, B, C, D die Winkel \(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \) sprich Alpha, Beta, Gamma, Delta zugeordnet sind
- Die Summe der Innenwinkel eines Vierecks beträgt 360°. Jedes Viereck lässt sich in zwei Dreiecke zerlegen. Vier Innenwinkel zählen nur als drei Bestimmungsstücke, da sich der 4. Winke ergibt.
- Die Beschriftung der beiden Diagonalen erfolgt mit Kleinbuchstaben \(e = {d_1} = \overline {AC} ;\,\,\,\,\,f = {d_2} = \overline {BD} ;\)
- Das Viereck heißt konvex, wenn beide Diagonalen innerhalb des Vierecks liegen. Liegt eine Diagonale außerhalb des Vierecks, so hat das Viereck eine konkave Ecke
- Spezielle Vierecke sind das Quadrat, das Rechteck, die Raute, das Deltoid, das Parallelogramm und das Trapez
- Es gibt Vierecke mit (Sehnenvierecke) und solche ohne Umkreis bzw. mit (Tangentenvierecke) und solche ohne Inkreis
Umfang vom allgemeinen Viereck
Der Umfang vom allgemeinen Viereck entspricht der Summe der vier Seiten
\(U = a + b + c + d\)
Winkelsumme im allgemeinen Viereck
Die Summe der Innenwinkel eines allgemeinen Vierecks beträgt 360°
\(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \)
Flächeninhalt vom allgemeinen Viereck
Die Fläche eines allgemeinen Vierecks kann man mit Hilfe der Formel von Bretschneider aus seinen vier Seiten und seinen beiden Diagonalen berechnen
\(A = \dfrac{1}{4} \cdot \sqrt {4 \cdot {e^2} \cdot {f^2} - {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}} \)
Länge der Diagonalen im allgemeinen Viereck
Die Länge der Diagonalen im allgemeinen Viereck kann man mit Hilfe vom Kosinussatz aus zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenem Winkel berechnen
\(\eqalign{ & e = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} = \sqrt {{c^2} + {d^2} - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos \left( \delta \right)} \cr & f = \sqrt {{a^2} + {d^2} - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos \left( \alpha \right)} = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \left( \gamma \right)} \cr} \)
Illustration eines allgemeinen Vierecks
Winkel αWinkel α: Winkel zwischen E, A, FWinkel αWinkel α: Winkel zwischen E, A, FWinkel βWinkel β: Winkel zwischen G, B, EWinkel βWinkel β: Winkel zwischen G, B, EWinkel βWinkel β: Winkel zwischen G, B, EWinkel γWinkel γ: Winkel zwischen H, C, GWinkel γWinkel γ: Winkel zwischen H, C, GWinkel δWinkel δ: Winkel zwischen F, D, HWinkel δWinkel δ: Winkel zwischen F, D, HStrecke fStrecke f: Strecke A, BStrecke gStrecke g: Strecke B, CStrecke hStrecke h: Strecke D, AStrecke iStrecke i: Strecke D, CStrecke jStrecke j: Strecke A, CStrecke kStrecke k: Strecke B, Df=d_2text1 = “f=d_2”f=d_2text1 = “f=d_2”e=d_1text2 = “e=d_1”e=d_1text2 = “e=d_1”AText1 = “A”BText2 = “B”CText3 = “C”DText4 = “D”aText5 = “a”bText6 = “b”cText7 = “c”dText8 = “d”$\alpha $Text9 = “$\alpha $”$\beta $Text10 = “$\beta $”$\gamma $Text11 = “$\gamma $”$\delta $Text12 = “$\delta $”
Allgemeines Viereck
Umfang allgemeines Viereck
Innenwinkel allgemeines Viereck
Fläche allgemeines Viereck
Diagonale allgemeines Viereck
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Wissenspfad Aufgaben
Quadrat
Das Quadrat ist ein Rechteck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind.
- Alle 4 Seiten a sind gleich lang, das Quadrat ist daher gleichseitig
- Alle 4 Innenwinkel sind rechte Winkel, das Quadrat ist daher ein Rechteck
- Die beiden Diagonalen sind gleich lang, rechtwinkelig zu einander und halbieren einander
- Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen M, ist sowohl Inkreis-, Umkreismittelpunkt als auch Schwerpunkt
Umfang vom Quadrat
Der Umfang vom Quadrat entspricht der vierfachen Seitenlänge
\(U = a + a + a + a = 4a\)
Winkelsumme im Quadrat
Jeder einzelne Winkel hat 90°. Die Summe der vier Innenwinkel eines Quadrats beträgt 360°.
\(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 4 \cdot 90^\circ = 360^\circ \)
Flächeninhalt vom Quadrat
Die Fläche vom Quadrat entspricht dem Quadrat der Seitenlänge
\(A = a \cdot a = {a^2}\)
Länge der Diagonalen im Quadrat
Die Länge jeder der beiden Diagonalen im Quadrat entspricht dem Wurzel-Zweifachem einer Seitenlänge
\(d = e = f = a \cdot \sqrt 2\)
Inkreis im Quadrat
Der Radius vom Inkreis im Quadrat entspricht der halben Seitenlänge. Der Inkreismittelpunkt ist zugleich der Schnittpunkt der beiden Diagonalen
\({r_i} = \dfrac{a}{2}\)
Umkreis vom Quadrat
Der Radius vom Umkreis vom Quadrat entspricht der halben Diagonale. Der Umkreismittelpunkt ist zugleich der Schnittpunkt der beiden Diagonalen
\({r_u} = \dfrac{d}{2} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\)
Illustration vom QuadratVieleck poly1Vieleck poly1: Vieleck(A, B, 4)Vieleck poly1Vieleck poly1: Vieleck(A, B, 4)Kreis cKreis c: Kreis durch J mit Mittelpunkt IKreis dKreis d: Kreis durch K mit Mittelpunkt IWinkel αWinkel α: Winkel zwischen O, P, LWinkel αWinkel α: Winkel zwischen O, P, LWinkel βWinkel β: Winkel zwischen M, Q, OWinkel βWinkel β: Winkel zwischen M, Q, OWinkel γWinkel γ: Winkel zwischen N, R, MWinkel γWinkel γ: Winkel zwischen N, R, MWinkel δWinkel δ: Winkel zwischen L, S, NWinkel δWinkel δ: Winkel zwischen L, S, NStrecke fStrecke f: Strecke A, BStrecke gStrecke g: Strecke B, CStrecke hStrecke h: Strecke C, DStrecke iStrecke i: Strecke D, AStrecke jStrecke j: Strecke E, FStrecke kStrecke k: Strecke G, HPunkt IPunkt I: Schnittpunkt von j, kPunkt IPunkt I: Schnittpunkt von j, kAtext1 = “A”Btext2 = “B”Ctext3 = “C”Dtext4 = “D”Mtext5 = “M”aText1 = “a”aText2 = “a”aText3 = “a”aText4 = “a”dText5 = “d”dText5_{1} = “d”dText5_{2} = “d”$$\alpha $$Text6 = “$$\alpha $$”$$\beta $$Text7 = “$$\beta $$”$$\gamma $$Text8 = “$$\gamma $$”$$\delta $$Text9 = “$$\delta $$”
Quadrat
Inkreis Quadrat
Umkreis Quadrat
Umfang Quadrat
Fläche Quadrat
Diagonale Quadrat
Winkelsumme Quadrat
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Rechteck
Ein Rechteck ist ein Viereck bei dem alle Innenwinkel rechte Winkel sind. Es ist ein Viereck mit gleich langen Diagonalen, die einander halbieren
- Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel
- Sind sogar alle vier Seiten gleich lang, dann handelt es sich um ein Quadrat
- Alle 4 Innenwinkel sind rechte Winkel
- Die beiden Diagonalen sind gleich lang und halbieren einander
- Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen M, ist der Umkreismittelpunkt und der Schwerpunkt
Umfang vom Rechteck
Der Umfang vom Rechteck entspricht der doppelten Summe der beiden Seitenlängen
\(U = a + b + a + b = 2 \cdot \left( {a + b} \right)\)
Winkelsumme im Rechteck
Jeder einzelne Winkel hat 90°. Die Summe der Innenwinkel eines Quadrats beträgt 360°.
\(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 4 \cdot 90^\circ = 360^\circ \)
Flächeninhalt vom Rechteck
Die Fläche vom Rechteck entspricht dem Produkt der beiden Seitenlängen
\(A = a \cdot b\)
Länge der Diagonalen im Rechteck
Die Länge jeder der beiden Diagonalen im Rechteck entsrpicht der Wuzel aus der Summe der beiden quadrierten Seitenlängen
\(d = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Umkreis vom Rechteck
Der Radius vom Umkreis eines Rechtecks entspricht der halben Diagonale. Der Mittelpunkt vom Umkreis liegt am Schnittpunkt der beiden Diagonalen und ist gleichzeitig der Schwerpunkt des Dreiecks.
\({r_U} = \dfrac{d}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Illustration vom RechteckViereck poly1Viereck poly1: Polygon A, B, C, DBogen eBogen e: Kreisbogen(F, H, G)Strecke aStrecke a: Strecke A, BStrecke bStrecke b: Strecke B, CStrecke cStrecke c: Strecke C, DStrecke dStrecke d: Strecke D, AStrecke fStrecke f: Strecke D, EStrecke gStrecke g: Strecke J, KStrecke hStrecke h: Strecke L, MStrecke kStrecke k: Strecke N, OPunkt II = (4.22, 6.24)Punkt II = (4.22, 6.24)Punkt NPunkt N: Schnittpunkt von i, dPunkt NPunkt N: Schnittpunkt von i, dPunkt OPunkt O: Schnittpunkt von j, bPunkt OPunkt O: Schnittpunkt von j, bhtext1 = “h”AText1 = “A”BText2 = “B”CText3 = “C”DText4 = “D”aText5 = “a”bText6 = “b”cText7 = “c”dText8 = “d”eText9 = “e”fText10 = “f”mText11 = “m”